| 研究概要 |
本年度の研究は以下の２種類に分けられるが, いずれも高次元Auslander-Reiten理論で重要な, d無限表現型多元環に関するものである.
一つ目は, Iyama, Minamoto, Oppermannとの共同研究である. 我々は, Geigle-Lenzingが80年代に導入した重み付き射影直線の一般化として, Geigle-Lenzing射影空間Xを導入し, その基本的な性質を調べた. これはd次元射影空間と超平面L_1,...,L_n, および正整数p_1,...,p_nから定まるものである. 我々はX上の連接層の圏に、傾対象が存在することを示し, その自己準同型環をd標準多元環と呼んで基本的性質を調べた. 1標準多元環は, Ringelが80年代に導入した標準多元環に他ならない. 我々はd標準多元環Aを箙と関係式によって記述し, さらにそのホモロジー代数的な性質を調べた. 特にAの大域次元はd (n≦d+1)または2d (n>d+1)であることを示し, さらに前者の場合にはAはd無限表現型多元環となることを示した. Geigle-Lenzing射影空間は, ある(d+1)次元の次数付き完全交叉環Rから定められるが, 我々はRのCohen-Macaulay表現を調べ, 特に次数付き極大Cohen-Macaulay加群の安定圏に傾対象が存在することを示した. これらの研究ではOrlovによる導来圏の半直交分解が重要な役割を果たす.
2つ目は, 2無限表現型多元環に関するものであり, 3-Calabi-Yau的なポテンシャル付き箙の切断ヤコビ多元環として2無限表現型多元環を理解することを目指すものである. ヤコビ多元環には, 次数付きのものと完備なものの2種類があり, 我々の研究においてはこれらをどちらも用いる必要性がある. この研究は現在も進行中である.
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