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2012 年度 実施状況報告書

セルバーグ跡公式による明示的次元公式を軸とした保型形式の対応予想の研究

研究課題

研究課題/領域番号 24740014
研究種目

若手研究(B)

研究機関和歌山大学

研究代表者

北山 秀隆  和歌山大学, 教育学部, 講師 (20622567)

研究期間 (年度) 2012-04-01 – 2015-03-31
キーワード整数論 / 保型形式 / 次元公式
研究概要

SL(2;R)とSU(2)の保型形式の空間の間にはL関数を保つ同型対応が存在することが知られているが、この対応を高次のSymplectic群の場合に拡張しようとする研究が主に跡公式を用いて行われてきた。しかし、知られている予想はどれも素数レベルの場合に限られていて、レベルの拡張は行われていなかった。本研究計画の目的は、今まで行われていなかった一般化されたレベルにも範囲を広げ、より詳細な研究を展開することである。この方向での研究の鍵になるのは保型形式の空間の間での次元の比較であり、そのための明示的次元公式をSelberg跡公式から導出する研究をレベルを拡張して実行する。
前年度から対応予想の離散群のレベルを拡張する研究を一部既にスタートさせていたが、今年度はまずその研究を更に進展させた。具体的には次の通りである。(1)昨年度までに既に得ていた「平方因子を持たないレベルのパラモジュラー群についてのベクトル値ジーゲルカスプ形式の空間の次元の明示公式」と「Sp(4;R)の非分裂型Q形式に関するベクトル値ジーゲルカスプ形式の空間の次元の明示公式」とを比較し、2つの間で成り立つ明示的な関係式を得た。(2)次にパラモジュラー新形式の空間の次元を考察し、より正確な意味での次元の関係式に書き換えた。(3)それを根拠として両者の空間の対応、およびリフトの予想を提唱した。加えて、その予想を支える為にL関数のオイラー因子の数値実験を行い、一致を確認した。
これらの結果は近日中に論文として投稿する予定である。また、素数冪レベルのパラモジュラーについて次元公式の研究を開始し順調に進展した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

昨年度までに得ていた結果はより詳細まで発展し、今後の研究の見通しはかなり明るくなった。予定していた素数冪レベルのパラモジュラー群についてのジーゲルカスプ形式の明示的次元公式の研究は予定通り実行できた。当初計画よりもより効率的な計算手法を用いているため、研究は当初計画以上に進展した。

今後の研究の推進方策

今年度にパラモジュラー群について明示的次元公式の研究を行った。それは近日中に完了する。今後の研究では、Sp(4;R)のそれ以外のパラホリック型離散部分群を対象とする。レベルの拡張についての研究手法のノウハウは既に今年度までに得ている。その手法を用いて順調に進行することはほぼ間違いないと考える。

次年度の研究費の使用計画

該当なし

  • 研究成果

    (3件)

すべて 2013 2012

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (1件) (うち招待講演 1件)

  • [雑誌論文] On explicit dimension formulas for spaces of Siegel cusp forms of degree two and their applications2013

    • 著者名/発表者名
      Hidetaka Kitayama
    • 雑誌名

      New Developments in Modern Number Theory and Applied Mathematics

      巻: 未定 ページ: -

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Siegel paramodular cusp formsの明示的次元公式とその応用2012

    • 著者名/発表者名
      北山秀隆
    • 雑誌名

      早稲田大学整数論研究集会2012報告集

      巻: なし ページ: 42-52

  • [学会発表] Dimension formulas of paramodular forms of squarefree level and comparison with inner twist2012

    • 著者名/発表者名
      Hidetaka Kitayama
    • 学会等名
      Workshop on Modular Frms
    • 発表場所
      九州大学伊都キャンパス
    • 年月日
      20120928-20120929
    • 招待講演

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公開日: 2014-07-24  

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