| 研究課題/領域番号 |
24740021
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| 研究機関 | 鹿児島大学 |
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研究代表者 |
伊藤 稔 鹿児島大学, 理工学研究科, 准教授 (60381141)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 不変式論 / 外積代数 / immanant / Cayley-Hamilton定理 / 量子展開環 / Iwahori-Hecke代数 |
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| 研究実績の概要 |
外積代数における不変式論とAmitsur-Levitzki型定理の関係について、論文"Invariant theory in exterior algebras and Amitsur-Levitzki type theorems"にまとめてarXivに投稿した。その後、Procesiらによる関連研究を知り、それらとの関係を書き加えて、arXivに再投稿した。
またこの研究を発展させて、外積代数上の不変式を表す道具として、immanantの「twistedな類似」を構成した。通常のimmanantは対称群の既約指標（conjugationで不変）を用いて定義するが、この既約指標をconjugationで交代的な函数で置き換えるのである。この「twisted immanant」は、通常のimmanantと同様にCauchy-Binet恒等式の類似をみたす。また反可換な成分の行列に対して次のような応用がある：(1) conjugationによる不変元の記述 (2) Caychy関係式の類似。これらの結果を論文"Twisted immanant and matrices with anticommuting entries"にまとめてarXivに投稿した。
また以前に構成したテンソル代数の拡張に対して、そのq類似を与えた。これはテンソル代数とA型のIwahori-Hecke代数の融合した代数と見なせる。この代数には自然に「微分」が考えられて、これを利用して量子展開環U_q(gl_n)の自然な作用も記述できる。さらに量子展開環とA型のIwahori-Hecke代数の間の双対性（q-Schur-Weyl双対性）の新しい証明もできる。これらの結果を論文"A q-analogue of derivations on the tensor algebra and the q-Schur-Weyl duality"にまとめてarXivに投稿した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
反可換な枠組みの不変式論は、twisted immanantを用いて理解が進んだ。このtwistedなimmanant自体は、反可換な枠組み以外でも意味をなす。今後もいろいろな非可換不変式論で活用したい。
テンソル代数の拡張のq類似も、q-Schur-Weyl双対性への応用とともに論文にまとめられた。
このように全体としては順調である。
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| 今後の研究の推進方策 |
高階のCayley-Hamilton型定理についてもうすこし整理したい。
外積代数の不変式論は、twisted immanantを用いてかなり整理できた。これを武器にして第二基本定理や高次のCayley-Hamilton型定理についてさらに調べたい。また反可換以外の枠組みでのtwisted immanantの応用を考えてみたい。
最終的には可換・反可換を含むさらに大きな枠組みでの理論に統合することを目指す。そこで以前に得たテンソル代数における微分概念と結びつけたい。微分概念については、対称群と一般線型群をまとめて取り扱う枠組みはできており、これをうまく活かしたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
海外の研究者との打ち合わせを計画していたが、日程の都合が合わなかった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
9月に研究会「不変性と双対性」を開催予定。これの参加者の旅費補助をしたい。海外の研究者との打ち合わせも計画している。
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