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2012 年度 実施状況報告書

実簡約群上の球関数とアルキメデスゼータ積分

研究課題

研究課題/領域番号 24740025
研究種目

若手研究(B)

研究機関成蹊大学

研究代表者

石井 卓  成蹊大学, 理工学部, 准教授 (60406650)

研究期間 (年度) 2012-04-01 – 2015-03-31
キーワードRankin-Selberg法 / アルキメデスゼータ積分 / Whittaker関数 / 離散系列表現
研究概要

実リー群上のWhittaker関数の明示公式の応用として、以下のような保型L関数に対する局所ゼータ積分の計算を行った。
(1)一般線形群GL(n)の標準L関数と2次外積L関数
Bump-Friedberg (1990)による、上記の2つのL関数を同時に解析接続するような複素2変数のゼータ積分のアルキメデス部分の計算を実行した。局所ゼータ積分は、GL(n)のWhittaker関数と[n/2]変数のSchwartz-Bruhat関数の組を含む積分である。GL(n,R)の主系列表現に対するWhittaker関数の明示公式を用いて、局所ゼータ積分が2つのL関数の局所L因子の積と等しくなるようなWhittaker関数とSchwartz-Bruhat関数の組を明示的に与えた。これにより大域的な2次外積L関数についての関数等式も従う。
(2)2次斜交群GSp(2)の標準L関数とスピノールL関数
Bump-Friedberg-Ginzburg (1999)は、このL関数に対してもSiegel Eisenstein級数とKilingen Eisenstein級数を用いた複素2変数のゼータ積分を与えている。これまでの研究で蓄積されてきたSp(2,R)のWhittaker関数の明示公式を用いることにより、実素点において主系列表現や大きな離散系列表現を生成している場合に、Whittaker関数と2つのEisenstein級数を構成する切断を適切に選ぶことにより、アルキメデスゼータ積分が標準L関数とスピノールL関数の局所L因子の積になることを証明した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

24年度に研究を予定していたGL(n)の2次外積L関数の局所理論については、おおむね予定していた通りの成果を挙げることができた。また、GL(3)×GL(2)の6次のオイラー積をもつL関数に対する局所ゼータ積分の計算は最後まで実行できなかったが、当初26年度に研究を進める予定であったGSp(2)のL関数については、ある程度の結果を出すことができた。

今後の研究の推進方策

平野幹氏(愛媛大学)、宮崎直氏(北里大学)との共同研究であるGL(3)×GL(2)のアルキメデスゼータ積分の計算、ならびにGSp(2)上のBump-Friedberg-Ginzburgのゼータ積分の計算を完成させる。

次年度の研究費の使用計画

上記共同研究についての研究連絡や、関連分野の研究集会に出席するための出張旅費に使用する予定である。

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2013 その他

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件) 学会発表 (3件) (うち招待講演 2件)

  • [雑誌論文] Archimedean zeta integrals on GL_n×GL_m and SO_{2n+1}×GL_m2013

    • 著者名/発表者名
      Taku Ishii and Eric Stade
    • 雑誌名

      Manuscripta Mathematica

      巻: 141 ページ: 485-536

    • DOI

      10.1007/s00229-012-0581-y

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Whittaker functions on orthogonal groups of odd degree2013

    • 著者名/発表者名
      Taku Ishii
    • 雑誌名

      Journal of Lie Theory

      巻: 23 ページ: 85-112

    • 査読あり
  • [学会発表] Pieri-type formulas for GL(n,R)-Whittaker functions and its application

    • 著者名/発表者名
      Taku Ishii
    • 学会等名
      超幾何関数とその周辺
    • 発表場所
      東京大学玉原国際セミナーハウス
  • [学会発表] Archimedean zeta integrals for the exterior square L-functions on GL(n)

    • 著者名/発表者名
      Taku Ishii
    • 学会等名
      Kyoto conference on automorphic forms
    • 発表場所
      京都大学
    • 招待講演
  • [学会発表] Archimedean L-factors for standard L-functions attached to non-holomorphic Siegel modular forms of degree 2

    • 著者名/発表者名
      Taku Ishii
    • 学会等名
      保型表現とその周辺
    • 発表場所
      京都大学数理解析研究所
    • 招待講演

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公開日: 2014-07-24  

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