研究課題
本年度は、昨年度に引き続き、Kleiman-Thorupによって導入された一般化されたブックスバウム・リム関数（以下、KT関数と呼ぶ）の一般論の整備を進めるとともに、具体例の計算、及び関連する研究の調査を行った。取り組んだ具体的課題とその成果は次の通りである。1. KT関数の漸近的不変量であるKT重複度について、Kirby-Reesによる先行研究を精査し、昨年度整備したKT関数・KT重複度の一般論の見直しを行い、理論を簡明化した。特に、Kirby-Reesによる加群の整同値の概念について、加群の整閉包、及びKT重複度やブックスバム・リム重複度との関係を中心に精査し、基礎理論の整備を行った。2. 局所環上の長さ有限な巡回加群の直和のKT関数・KT重複度について具体的計算を行った。特に、1次元コーエン・マコーレー局所環上の巡回加群の直和で巴系加群となっている加群のKT関数・KT重複度の計算を実行した。階数が2の場合、昨年度までの研究からKT関数が始めから多項式にならない場合があることは分かっていたが、より詳細な解析を行うことで、KT多項式を決定するとともに、KT関数が始めから多項式となる場合を完全に決定した。3. 1次元コーエン・マコーレー局所環内の巴系イデアルの上昇列から決まる巡回加群の直和の形をした巴系加群の場合に、上記2で行ったKT関数の計算結果を基に、KT関数のポアンカレ級数を計算し、その形を決定した。
2: おおむね順調に進展している
2年目である本年度は、当初の計画通り、1次元局所環上の巴系加群に付随するKT関数・KT重複度の具体的計算を計画し実行した。昨年度行った計算を整備・発展させることで、階数が低い特別な巴系加群についての計算が完了し、研究課題のひとつである「巴系加群のKT関数が始めから多項式か」について一定の成果を得た。一般的な巴系加群のKT重複度を記述するまでには至らなかったものの、おおむね順調に進展している。
平成26年度は、1次元局所環上の一般的な巴系加群のKT関数・KT重複度の一般論の完成を目指す。具体例の計算に加え、Kirby-Reesによる重複度理論で用いられている手法に着目し、その手法を発展・精密化することで、1次元の場合の完全解決につなげる。また、2次元以上の場合の具体的計算も行い、一般次元で予想される結果を提示して、研究課題の完成を目指す。
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Communications in Algebra
巻: Volume 42, Issue 6 ページ: 2769--2778
10.1080/00927872.2013.774407
