| 研究課題/領域番号 |
24740034
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
高橋 淳也 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (10361156)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | ラプラシアン / 固有値 / 微分形式 / 多様体の崩壊 / 特異点 / ノルムの集中 / 大きい固有値 |
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| 研究実績の概要 |
本年度も引き続き，Hodge-Laplacian の固有値が持つ幾何学的情報を調べるたに，Riemann 多様体が崩壊した際に，対応する Hodge-Laplacian の固有値と固有形式の極限の研究を行った．
昨年度は，Colette Ann'e 氏（フランス・ナント大学）との共同研究で，同じ境界を持つ 2つのコンパクトな境界付き Riemann 多様体をその境界で貼り合わせ，一方を1点に一様に潰した場合（一般化された連結和の崩壊）に，対応する Hodge-Laplacian の固有値と固有形式の極限を完全に決定した．本年度の成果の一つは，これらの研究成果をまとめた論文が学術雑誌に掲載が決定したことである．
さて，我々の研究において，固有形式の一部のノルムが錘型特異点に集中する，大変興味深い現象が起こることが分かった．しかし，その仕組みはまだ分からないことが多い．そこで，昨年度後半からこの仕組みを解明するため，色々な具体例に対して，固有形式のノルムが特異点に集中するかどうかを調べてきた．
その結果，固有形式のノルムの集中現象が，ある特別な崩壊に対しても起こることが分かった．この特別な崩壊は，Hodge-Laplacian の正の固有値がすべて 無限大に発散する状況（大きい固有値の存在）に良く似た崩壊であった．従って，大きい固有値が存在するかどうかを，より一般的な状況において研究を行った．具体的には，大きい固有値が存在するための，多様体の位相的な障害を調べた．
しかし，目標とした結果を得るには，ある固有形式の評価が必要であるが，本年度中にその評価を得るまでには至らなかった．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本年度の成果の一つは，これまで研究してきた一般化された連結和の崩壊において，対応する Hodge-Laplacian の固有値と固有形式の収束の結果をまとめた論文が，学術雑誌に掲載が決定したことである．
しかし，その後の固有形式の一部のノルムが錘型特異点に集中する現象の解明にかなり苦労している．というのも，少し複雑にした場合を考えただけで，解析的に非常に複雑で予想を建てることすら困難になってしまうからである．
その様な状況ではあったが，固有形式のノルムの集中現象が，崩壊において固有値が無限大に発散する（大きい固有値）場合に良く似た状況でも起こることが分かった．そこで，大きい固有値が存在するための，多様体に関する位相的な障害を探るという方針で研究を進めた．
しかし，依然解析的な評価の難しさがあり，目標とした結果にはまだ至らなかったため，予定より研究が遅れてしまった．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究の目標は，一般化された連結和の崩壊の研究で観察された，固有形式の一部のノルムが特異点に集中する現象の原因や仕組みを明らかにすることである．しかし，今までの研究から，実際にこれを遂行するには，解析的に多くの困難が伴うことが分かっている．
そこで，本年度新たに分かった固有形式のノルムの集中現象と，崩壊における Hodge-Laplacian の大きい固有値の存在の関係をより明確にすることにを目標とする．特に，現在取り組んでいる，大きい固有値が存在するための位相的障害を求めることである．この大域的な崩壊が局所的に起こる場合が特異点と考えられるので，この崩壊の研究から次の特異点のトポロジーが複雑な場合への足掛かりとしたい．
そのために，本年度に引き続き，解析学や特異点論関係の図書を中心に購入して新たな知識を仕入れる．また，専門家との議論を深めるために，研究打ち合わせを行おうと考えている．同時に得られた研究成果発表を行うことも予定している．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
昨年度後半から新たに取り組んだ研究が進展はしたものの，完成には至らなかった．そのため，研究成果発表を見込んだ旅費の使用額が当初の予定より少なくなった．
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| 次年度使用額の使用計画 |
平成26年度に予定していた研究成果発表のための旅費の未使用額を，次年度の必要な経費として，平成27年度請求額と合わせて使用する予定である．
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