| 研究実績の概要 |
[曲面の基本群の両側不変順序を保つ写像類の研究.] 穴あき曲面Sの写像類 f を考える. 写像類 f は穴あき曲面Sの基本群, すなわち自由群の外部自己同型写像を誘導する. 自由群は両側不変順序群である(つまり自由群は, 両側不変なある順序を許容する)ことが知られてる. 本年度は, (問題 1)どのような写像類 f が, 自由群の両側不変順序を保つ(以下, たんに自由群の順序を保つ, という)か? (問題2) 擬アノソフ写像類 の中で, 自由群の順序を保たないものが存在するか? について Dale Rolfsen 氏と共同研究を行った. なお問題1は, (問題 1') 写像類 f の写像トーラスの基本群が両側不変順序群になるのはどのような f か? という問題と言い換えられることに注意する. 曲面 S がn個の穴あき球面のとき, 写像類が周期的(写像類群の元として位数が有限)の場合に問題1について完全な解答を得た. さらに周期的な写像類が自由群の順序を保つ場合には, 保たれる不変順序の具体的を与えた. 問題2については, 自由群の順序を決して保たない擬アノソフ写像類の無限列を具体的に与えた. この結果を用いることによって (-2,3,8)-プレッツェルリンク補空間や, エントロピー最小の擬アノソフ3-組紐の写像トーラスの基本群が, 両側不変順序群でないことを示した.
[写像類群の部分群の最小エントロピーに関する研究.] 種数gの閉曲面の写像類群の超楕円的ハンドル体群や超楕円的ゲーリッツ群といった2つの部分群の擬アノソフ写像類の最小エントロピーについて, 種数gに関する漸近的挙動を決定した. 一般に, 超楕円的写像類は球面組ひもで記述できるという利点を持つ. 本研究では, これら2つの部分群に属す, エントロピーが小さい擬アノソフを球面組ひもを経由して具体的に構成した. これは廣瀬 進氏との共同研究である.
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