| 研究概要 |
【結び目の複雑度に関する研究】結び目の複雑さを表すHempel距離と種数gのHeegaard曲面に対するb-橋分解，これを(g,b)-分解とよぶ，に関する研究を市原一裕氏(日本大学)と共同で行い，次を示した：任意に与えられた３次元閉多様体M，非負整数g，自然数b，nに対して， Hempel距離がnより大きい(g,b)-分解をもつM内の結び目が自明な例外を除いて存在する．先行研究からの大きな改良点は，本定理では多様体が任意に与えられるところにある．応用として，任意の自然数t，m≦t+1を満たす任意の非負整数mに対して，トンネル数tでmeridional destabilizing numberがmとなるような３次元球面内の結び目の存在定理が得られた．同時に，本研究をさらに推進するためには，やはりタングルに関する詳細な考察が不可欠との考えに至る．
【タングルに関する研究】タングルとは境界付きコンパクト３次元多様体Nと，N内に適切に埋め込まれた1次元多様体Tとの組(N,T)であり，主に結び目の構成要素として知られている．今年度は本研究課題である「Heegaard理論を用いた結び目の研究」を基盤として，同理論を用いて自由タングルの考察に関する考察を行った．
【結び目のレンズ空間手術に関する研究】レンズ空間手術予想の解決へ向けて，対象をトンネル数１の結び目，すなわち，結び目外部空間が種数２のHeegaard分解を許容する結び目によるデーン手術とし，この操作によりHeegaard種数が落ちるための条件を改良した．
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