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2012 年度 実施状況報告書

ガウス写像の性質に基づく曲面の大域的性質の研究

研究課題

研究課題/領域番号 24740044
研究種目

若手研究(B)

研究機関山口大学

研究代表者

川上 裕  山口大学, 理工学研究科, 講師 (60532356)

研究期間 (年度) 2012-04-01 – 2015-03-31
キーワード幾何学 / 関数論 / 複素解析学 / 幾何解析
研究概要

本年度は、主に2つのテーマの研究について進展があった。1つは、ガウス写像の除外値数の上限の幾何学的意味を明らかにしたことである。複素平面上の非定数有理型関数の除外値数の上限である“2”の幾何学的意味は、その値域であるリーマン球面のオイラー数であることが知られている。一方、3次元ユークリッド空間内の平面でない完備極小曲面のガウス写像の除外値数は藤本坦孝氏によって“4”であることが示されたが、その幾何学的意味はわかっていなかった。また、申請者は中條大介氏との共同研究によって、楕円型放物面でない弱完備な非固有アファイン波面のラグランジアンガウス写像の除外値数の上限は4より小さい“3”であることを示した。そこで、申請者はこれらの除外値数の上限を統一的に導き、かつ幾何学的意味を明らかにするため、その曲面の等角計量に着目し、その計量のガウス曲率の評価を証明することができた。また、その計量が完備である場合は、ガウス写像の除外値数の上限は(計量のオーダー)+(値域であるリーマン球面のオイラー数)で与えることができることを示した。このことから、ガウス写像の除外値数の上限の幾何学的意味、及び曲面のクラスのベルンシュタイン型定理が生じる幾何学的背景を明らかにすることができた。もう1つはウイルモア予想の解決と極小曲面論との関係を理解することができたことである。今年度は3次元球面内の極小曲面論において未解決とされていた問題が次々解かれ、大きく研究が進展した年であった。申請者はその中で、ウイルモア予想と極小曲面論との関係を記したMarquesとNevesの論文を熟読し、そのことを国際講演や研究集会で発表した。この内容で申請者はまだ研究成果を得ていないが、今後の幾何学の研究の進展において非常に重要な概念になることは間違いなく、いずれはこの内容を活かした研究成果を得たいと考えている。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

初年度に目標としていた内容を達成でき、さらにその成果は発展性に富んだものとなり、今後の研究の進展も期待できそうだから。

今後の研究の推進方策

今後は、今年度得られた成果を、より次元の高いユークリッド空間内の極小曲面のガウス写像の値分布論にも応用していきたいと考えている。また、これまで世界的に研究が進展していなかった、向き付け不可能な極小曲面のガウス写像の研究にも着手したいと思う。そして、九州大学の小磯深幸氏との共同研究で、非等方的平均曲率一定曲面のクラスのベルンシュタイン型定理及び剱持-ワイエルシュトラス型表現公式の研究も進めていきたいと考えている。

次年度の研究費の使用計画

研究成果発表及び小磯深幸氏との共同研究の研究打ち合わせのための旅費として研究費を使用する予定である。また、本研究の内容は幾何学、函数論両分野の他の研究課題にも応用することが期待できるので、このことに関する勉強会や研究集会の会議費、研究打ち合わせのための旅費としても使用したいと考えている。さらに、最新の知見を得るための図書の購入にも使用したいと考えている。

  • 研究成果

    (13件)

すべて 2013 2012

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件) 学会発表 (11件) (うち招待講演 9件)

  • [雑誌論文] On the maximal number of exceptional values of Gauss maps for various classes of surfaces2013

    • 著者名/発表者名
      Yu Kawakami
    • 雑誌名

      Mathematische Zeitschrift

      巻: 274 ページ: 1249, 1260

    • DOI

      10.1007/s00209-012-1115-8

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Hyperbolic metrics on Riemann surfaces and spacelike CMC-1 surfaces in de Sitter 3-space2012

    • 著者名/発表者名
      S. Fujimori, Y. Kawakami, M. Kokubu, W. Rossman, M. Umehara, K. Yamada
    • 雑誌名

      Springer Proceedings in Mathematics and Statistics

      巻: 26 ページ: 1 - 48

    • DOI

      10.1007/978-1-4614-4897-6_1

    • 査読あり
  • [学会発表] Overview of the proof of Willmore conjecture by Marques and Neves2013

    • 著者名/発表者名
      Yu Kawakami
    • 学会等名
      Workshop on geometry and geometric analysis
    • 発表場所
      東北大学(仙台市)
    • 年月日
      20130315-20130315
    • 招待講演
  • [学会発表] Willmore予想について2013

    • 著者名/発表者名
      川上 裕
    • 学会等名
      研究会「多様体上の変分問題とその周辺領域」
    • 発表場所
      山口県健康づくりセンター(山口市)
    • 年月日
      20130214-20130216
  • [学会発表] ガウス写像の除外値数の上限の幾何学的意味について2013

    • 著者名/発表者名
      川上 裕
    • 学会等名
      幾何学セミナー
    • 発表場所
      岡山大学(岡山市)
    • 年月日
      20130204-20130204
    • 招待講演
  • [学会発表] ガウス写像の除外値数の上限の幾何学的意味について2013

    • 著者名/発表者名
      川上 裕
    • 学会等名
      微分幾何火曜セミナー
    • 発表場所
      筑波大学(つくば市)
    • 年月日
      20130122-20130122
    • 招待講演
  • [学会発表] 極小曲面のGauss写像の除外値問題について2012

    • 著者名/発表者名
      川上 裕
    • 学会等名
      熊本大学理学部数学専攻プロジェクトゼミナール
    • 発表場所
      熊本大学(熊本市)
    • 年月日
      20121218-20121218
    • 招待講演
  • [学会発表] ガウス写像の除外値数の上限の幾何学的意味について2012

    • 著者名/発表者名
      川上 裕
    • 学会等名
      複素解析幾何セミナー
    • 発表場所
      東京大学(東京)
    • 年月日
      20121203-20121203
    • 招待講演
  • [学会発表] ガウス写像の除外値数の上限の幾何学的意味について2012

    • 著者名/発表者名
      川上 裕
    • 学会等名
      第55回函数論シンポジウム
    • 発表場所
      金沢大学(金沢市)
    • 年月日
      20121124-20121124
    • 招待講演
  • [学会発表] ガウス写像の除外値数の最良の上限について2012

    • 著者名/発表者名
      川上 裕
    • 学会等名
      九大幾何学セミナー
    • 発表場所
      九州大学(福岡市)
    • 年月日
      20120713-20120713
    • 招待講演
  • [学会発表] On the maximal number of exceptional values of Gauss maps for various classes of surfaces2012

    • 著者名/発表者名
      川上 裕
    • 学会等名
      山口大複素解析ゼミ
    • 発表場所
      山口大学(山口市)
    • 年月日
      20120711-20120711
  • [学会発表] 様々な曲面のクラスにおけるガウス写像の除外値数の最良の上限について2012

    • 著者名/発表者名
      川上 裕
    • 学会等名
      幾何学セミナー
    • 発表場所
      名古屋大学(名古屋市)
    • 年月日
      20120615-20120615
    • 招待講演
  • [学会発表] 波面のガウス写像の値分布について2012

    • 著者名/発表者名
      川上 裕
    • 学会等名
      研究集会:特異点論と幾何構造
    • 発表場所
      長野市生涯学習センター(長野市)
    • 年月日
      20120601-20120601
    • 招待講演

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公開日: 2014-07-24  

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