| 研究課題/領域番号 |
24740046
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
本多 正平 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 助教 (60574738)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | Ricci curvature / Laplacian / Gromov-Hausdorff収束 |
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| 研究実績の概要 |
当該年度において，論文「Elliptic PDEs on compact Ricci limit spaces and applications」をarXiv上に発表し，雑誌に投稿した．
本論文では，Poisson方程式，Schrodinger方程式，山辺型方程式，Hodge Laplacian等のGromov-Hausdorff収束に関する振る舞いを考察した．主結果は粗く言って，そのような方程式の解がGromov-Hausdorff位相に関して連続的に振る舞うというものである．これらは例えばLaplacianの固有値がGromov-Hausdorff位相に関して連続的に振る舞うという，深谷予想（これはCheeger-Coldingによって2000年に解かれた）の一般化となっている．
その応用として特に，以前書いた論文で与えたGromov-Hausdorff極限空間上の二階微分可能構造がcanonicalに定まるということ，またそれと最近Gigliによって別の方向から与えられた二階微分可能構造との適合性，そして調和微分形式のGromov-Hausdorff位相に関する（弱い）連続性を示した．
本研究の大きな目標は，第一ベッチ数に関するGromovの予想（これもCheeger-Coldingによって解かれている）の別証明を与えることであった．それは大きく分けて二つのパートからなっており，その一つがこの調和微分形式の連続性の箇所である．大きな目標の半分は少なくとも達成できた年度である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
Gromovの予想の別証明を与えるためにいくつかの概念や定式化が必要であったが，それが全部そろい，おおむね別証明のための半分ができ，それがリーマン多様体の研究自身への応用にも広がったため．
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| 今後の研究の推進方策 |
研究計画通りこれからも研究を進めていく．具体的にはリーマン多様体のGromov-Hausdorff極限空間上でBochner型の定理を導出することが今の目標であり，それが本研究の大きな目標であるGromov予想の別証明の残りの山である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2週間ほどの海外出張の際，滞在費が先方負担だったため．
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| 次年度使用額の使用計画 |
国内外における研究集会やセミナーに多く参加する．
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