離散可積分系による数列のハンケル変換理論の構築と組合せ論への応用

2013 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 24740059
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 基金
• 研究分野: 数学一般(含確率論・統計数学)
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 上岡 修平 京都大学, 情報学研究科, 助教 (70543297)
• 研究期間 (年度): 2012-04-01 – 2014-03-31
• キーワード: 数理物理 / 可積分系 / 組合せ論 / 行列式 / Aztec diamond / 非交叉径路 / タイリング / 完全マッチング

研究概要

数列のHankel変換では，Hankel型の行列式を計算することにより既存の数列から新たな数列を構成する。本研究では数列のHankel変換を離散可積分系の視点から解析し, 特に格子路の言葉で組合せ論的に記述される数列のHankel変換と行列式解を持つ離散可積分系との関係を調べた。さらに応用として離散戸田分子等の可積分系の初期値問題を考察し, 初期値問題の厳密解に対して非交叉格子路による組合せ論的な表示を与えた。また組合せ論への応用として非交叉格子路と関連深いアステカダイヤモンドのタイリング問題を扱い，特にタイリングの数え上げ定理に対して離散可積分系および直交関数を用いた新たな証明を与えた。

研究成果

• [雑誌論文] ローラン双直交多項式とアステカダイヤモンド定理 (2014)
  • 著者名/発表者名: 上岡修平
  • 雑誌名: 九州大学応用力学研究所研究集会報告 巻: (予定)
  • 査読あり
• [雑誌論文] Laurent biorthogonal polynomials, q-Narayana polynomials and domino tilings of the Aztec diamonds (2014)
  • 著者名/発表者名: Shuhei Kamioka
  • 雑誌名: Journal of Combinatorial Theory 巻: Series A 123 ページ: 14-29
  • 査読あり
• [雑誌論文] Combinatorial expressions of the solutions to initial value problems of the discrete and ultradiscrete Toda molecules (2013)
  • 著者名/発表者名: Shuhei Kamioka, Tomoaki Takagaki
  • 雑誌名: Journal of Physics A : Mathematical and Theoretical 巻: 46 ページ: 355203
  • DOI: 10.1088/1751-8113/46/35/355203
  • 査読あり
• [雑誌論文] 格子路の組合せ論から見た可積分系とその周辺 (2013)
  • 著者名/発表者名: 上岡修平
  • 雑誌名: RIMS Kokyuroku Bessatsu 巻: B41 ページ: 73-84
  • 査読あり
• [雑誌論文] 離散戸田方程式の解の組合せ論的な表示とその非自励化 (2013)
  • 著者名/発表者名: 上岡修平
  • 雑誌名: 九州大学応用力学研究所研究集会報告 巻: 24AO-S3(21) ページ: 134-139
  • 査読あり
• [学会発表] アステカダイヤモンドのタイリング定理の拡張 (2014)
  • 著者名/発表者名: 上岡修平
  • 学会等名: 第10回日本応用数理学会研究部会連合発表会
  • 発表場所: 京都大学吉田キャンパス
  • 年月日: 2014-03-20
• [学会発表] Laurent biorthogonal polynomials, q-Narayana polynomials and domino tilings of the Aztec diamonds (2014)
  • 著者名/発表者名: 上岡修平
  • 学会等名: 日本数学会2014年度年会
  • 発表場所: 学習院大学目白キャンパス
  • 年月日: 2014-03-16
• [学会発表] 可積分系,直交多項式,連分数からの組合せ問題へのアプローチ (2014)
  • 著者名/発表者名: 上岡修平
  • 学会等名: 有理函数近似が繋ぐ可積分系・直交多項式・パンルヴェ方程式
  • 発表場所: 一橋大学
  • 年月日: 2014-02-01
• [学会発表] Laurent biorthogonal polynomials, q-Narayana polynomials and domino tilings of the Aztec diamonds (2014)
  • 著者名/発表者名: Shuhei Kamioka
  • 学会等名: Algebraic Combinatorics and Representation Theory Seminar at KIAS
  • 発表場所: Korea Institute for Advanced Study, Seoul, Korea Republic
  • 年月日: 2014-01-20
• [学会発表] ローラン双直交多項式とアステカダイヤモンド定理 (2013)
  • 著者名/発表者名: 上岡修平
  • 学会等名: 平成25年度九州大学応用力学研究所共同利用研究集会「非線形波動研究の拡がり」
  • 発表場所: 九州大学筑紫地区筑紫ホール
  • 年月日: 2013-11-01
• [学会発表] 戸田分子の初期値問題の解の組合せ論的な表示 (2013)
  • 著者名/発表者名: 上岡修平
  • 学会等名: 日本数学会2013年度秋季総合分科会
  • 発表場所: 愛媛大学城北キャンパス
  • 年月日: 2013-09-24
• [学会発表] 確率ロジスティック方程式の差分化について (2013)
  • 著者名/発表者名: 清水恭輔,上岡修平
  • 学会等名: 日本応用数理学会2013年度年会
  • 発表場所: アクロス福岡(福岡市)
  • 年月日: 2013-09-09
• [学会発表] ローラン双直交多項式のモーメントとしてのq-Narayana多項式 (2013)
  • 著者名/発表者名: 上岡修平
  • 学会等名: 組合せ論サマースクール2013
  • 発表場所: ホテル大観(岩手県盛岡市)
  • 年月日: 2013-09-04
• [学会発表] Combinatorial expressions of solutions to an initial value problem of the discrete and ultradiscrete Toda lattices (2013)
  • 著者名/発表者名: Shuhei Kamioka
  • 学会等名: China-Japan Joint Workshop of Integrable Systems 2013
  • 発表場所: 京都大学
  • 年月日: 2013-03-19
• [学会発表] 離散戸田方程式の解の組合せ論的な表示とその非自励化 (2012)
  • 著者名/発表者名: 上岡修平
  • 学会等名: 平成24年度九州大学応用力学研究所共同利用研究集会「非線形波動研究の最前線―構造と現象の多様性―」
  • 発表場所: 九州大学
  • 年月日: 2012-11-02
• [学会発表] 格子路の組合せ論から見た可積分系とその周辺 (2012)
  • 著者名/発表者名: 上岡修平
  • 学会等名: 京都大学数理解析研究所研究集会「非線形離散可積分系の拡がり」
  • 発表場所: 京都大学
  • 年月日: 2012-08-21
• [学会発表] An enumerative problem on non-intersecting walks related to the discrete Toda equation and Laurent biorthogonal polynomials (2012)
  • 著者名/発表者名: Shuhei Kamioka
  • 学会等名: Symmetries and Integrability of Difference Equations 10
  • 発表場所: Xikou, Ningno, China
  • 年月日: 2012-06-12