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2008年の論文で小関氏と代表者は，ハミルトン閉路が存在するための「位数，連結度，独立数を含んだ次数和条件」に関して，次数の和をとる頂点数を2頂点，3頂点，4頂点としたとき，その最良の下限は，公差が"独立数-1"の等差数列をなすという規則性を発見した．この規則性は５頂点以上の次数和条件に関しても成立するのではないかと予想した．さらに，ハミルトン閉路の一般化である「指定された長さ以上の閉路」に対しても同様な規則性があるのではないかと予想した．これら2つの予想に関して，ハミルトン閉路に関する予想は正しいことを示し，指定された長さ以上の閉路に関しては4頂点次数和条件に対して予想が正しいことを示した．
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