| 研究実績の概要 |
１．ユークリッド空間の n 点部分集合において，相異なる 2 点間の距離が丁度 k 種類出てくるとき，その集合を n 点 k-距離集合という．相似変換でうつり合うものを同型として，その同型類について考える．本研究において，円周上のn点k-距離集合について，k が n に対して十分小さいとき，その集合は正 m 角形 R(m) (m=2k+1 または 2k) の部分集合になることを示した．Erdos(1946), Altman(1963), Fishburn(1995), Erdos-Fishburn(1996) により，平面上の凸な n 点 k-距離集合 X に対して次の (1),(2),(3) が知られていた．(1) n は 2k+1 以下で，n=2k+1 のときは X=R(2k+1)となる．(2) n=2k のとき X=R(2k) か X は R(2k+1) の部分集合となる．(3) n=2k-1 で k=4,5,6 のとき X は R(2k+1) か R(2k) の部分集合となる．特に，(3) に関係して，Erdos-Fishburn は一般の k に対して成り立つこと予想している．逆に，n が 4k/3 くらいであると正多角形の部分集合にならないような無限個の n-点 k-距離集合を構成できる．本研究では，空間を円周に限定する代わりに，この境界に近いところで n-点 k-距離集合は R(2k+1) か R(2k) の部分集合になることを示した．現在，限界式を最良にするために，継続して研究を行っている．
２．三次元ユークリッド空間における，3 つの spherical shell の共通部分の直径の評価を行った．この結果により，三次元ユークリッド空間上の最大 3-距離集合の分類における数値計算の精度保証が与えられる．
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