| 研究実績の概要 |
グロス・ピタエフスキー方程式にホワイトノイズが摂動に加わった方程式について, 渦のダイナミクスの解析をするため, 当初計画していた調査すべき項目に関して, 得られた研究結果は以下のとおりである.
1. グロス・ピタエフスキー方程式に対する任意の巻き数の渦点は, 渦と同じ構造を持つ摂動に関して軌道安定である. その安定な渦点を初期データとしたとき, 確率的な摂動を持つグロス・ピタエフスキー方程式の解は一般的にはノイズの効果で不安定となる, すなわち初期に与えた形は崩れてしまう.
そこで, 今年度の研究では, ノイズの大きさと比較して, どの程度の時間まで渦の形を保つことができるのかを, 安定な渦点のまわりにおける線形化作用素からの情報と方程式の保存量を組み合わせることによって理論的に証明した. 方程式の線形部分の発展作用素の積分核表示が具体的であることが証明のポイントとなっており, その表示の発見も研究実績の一つである. また, 数値計算により, 渦を初期データに持つ解の長時間挙動を観察し, 周期的な挙動を確認した.
2. トーマス・フェルミ近似により形式的に導出される, 上述のグロス・ピタエフスキー方程式と同値な方程式である複素ギンツブルグ・ランダウ方程式において, 渦点の振る舞いを解析できるかの検討を行い, 確率項を伴った複素ギンツブルグ・ランダウ方程式の渦点のダイナミクスを導出した.
|
