研究課題
ケーラー多様体上の閉曲線流がみたすある空間１次元４階非線型分散型偏微分方程式に対する初期値問題の解の存在問題を主に考察した。まず、多様体がコンパクトな定曲率リーマン面ならば時間局所解が存在することについては早い段階で見通しが立っていた。実際、適当なゲージ変換を用いて方程式の良い構造を取り出すことにより、可微分性の損失に起因する困難を克服可能であった。次に、その解の一意性を考察した。解が多様体に値を取る点と方程式の階数が高い点によって、２つの解の差がみたす偏微分方程式系の構造の解析に苦労し、しばらく解決できなかった。そこで、最も解析しやすい場合である多様体が実２次元球面の場合から考察し直し様子を探ってみた。その結果、この場合には実際に時間局所解の存在と一意性が従うことを確認できた。また、特に方程式が完全可積分系となる場合は解が時間大域的に延長されることも確認した。なお、この球面値モデルは３次元の渦糸運動や１次元の古典スピン系の連続極限モデルとして導出されると言う意味で数理物理学的にも興味深い対象である。以上の球面値モデルに関する結果を単著論文としてまとめた（査読付き雑誌に掲載決定済み）。次に、多様体が定曲率リーマン面の場合の解の一意性を再考察した。今度は、球面値モデルに対する証明を詳しく見直したことがヒントとなり、当初解決できなかった解の一意性を肯定的に解決することができた。この結果も単著論文としてまとめた（査読付き雑誌に投稿中）。以上のように、球面値モデルに対する新たな成果が得られた点と、球面値モデルに対する時間局所解の存在と一意性に関する結果を解の一意性を含めて幾何学的に一般化できた点により、一定の成果は得られたと思われる。一方で、解の一意性の証明には複雑な計算が伴い投稿中の論文も多くのページ数を要してしまった。より見通しのよい証明を与えられたら良かったと思われる。
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Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Section: A Mathematics
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