| 研究実績の概要 |
本研究課題3年目に当たる平成26年度は, 前年度の研究に引き続き圧縮性粘性流体のモデル方程式系を包括するような一般的な対称双曲・放物型偏微分方程式系を1次元半空間上で考察し, 境界層解と呼ばれる定常解の存在性及び漸近安定性に関する研究に取り組んだ. 具体的にはこれまでの研究において存在を証明した縮退定常解の漸近安定性の証明に取り組んだ. 非縮退定常解の漸近安定性は前年度までの研究により既に証明しており, 半空間エネルギー法による放物型に対応する解の消散的評価と, 安定性条件下における双曲型に対応する解の消散的評価を組み合わせることにより, その漸近安定性を証明した. 定常解が縮退する場合も同様の方針で証明を試みたが, 低回の基本評価の導出の際に縮退性による困難さが生じた為, 方程式系に対してある仮定を課すことにより問題を解決した. 具体的には, 縮退する場合においては定常解は空間方向に多項式的な減衰しかしない為, 非縮退の時に有用であったPoincare型の不等式による低回項の評価が利用出来ない. そこで縮退するケースでは, 流束関数は0固有値に対応する固有ベクトルの方向に関して凸であるという仮定を課し, 定常解の導関数を係数として持つ低回項の符号が正となるようにした. これにより定常解からの摂動に対するL2評価を導出することが可能となった. なお, 具体的な圧縮性粘性流体のモデル方程式はこの仮定を満たしており, 物理的観点からは自然は仮定と思われる. 以上の研究により, 縮退及び非縮退な定常解の存在性・漸近安定性を証明することに成功した.
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| 今後の研究の推進方策 |
平成26年度までの研究において境界層解の存在性・漸近安定性を証明することに成功した. 今後の研究計画としては, 漸近安定性に関する時間漸近率を求めることが挙げられる. 過去の研究においては流出境界条件下における超音速流に対して, 時空間重み付きエネルギー法を適用することにより時間漸近率を算出しているので, 本研究課題では一般的な方程式系に対して同様の議論が可能かどうかを検証したい.
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