2012 年度実施状況報告書

ファインマン・カッツ汎関数に基づく確率解析とポテンシャル論への応用

研究課題

研究課題/領域番号	24740093
研究種目	若手研究(B)
研究機関	長岡工業高等専門学校
研究代表者	田原喜宏長岡工業高等専門学校, 一般教育科, 助教 (00567901)
研究期間 (年度)	2012-04-01 – 2016-03-31
キーワード	確率解析 / マルコフ過程 / ディリクレ形式 / ファインマン・カッツ汎関数
研究概要	平成24年度においては、並行して行っていた2つの共同研究について結果を纏めた。まず、平成22年度より続いている土田兼治氏(防衛大)との共同研究であるnearly stable processについての確率解析の研究であるが、加法汎関数の大偏差原理ついては結果を論文として纏め現在投稿中である。次に金氏、桑江氏との共同研究であるエネルギー零であるような加法汎関数を重みに含むファインマン・カッツ汎関数の確率解析について、スペクトル下限の独立性が成立する条件についての結果を纏めた。特に当初の目的であった確率過程に対応するディリクレ形式が最初から消滅を持つ場合においても、消滅項を持たない場合同様にフェラー性、強フェラー性を仮定した上でスペクトル下限の独立性に対する条件を纏めた。更にこのスペクトル下限の独立性を応用し、滞在時間分布に対する大偏差原理を証明した。これは平成23年度における竹田雅好氏との共同研究で行ったリゾルベントが緊密性を持つ場合における滞在時間分布に対する大偏差原理の結果を包括するものとなっている。本研究費を用いて,研究集会への参加を行い,また研究に必要な専門書やプリンタトナー等の消耗品を購入した。更に本研究費を用いて共同研究者である土田兼治氏の他、塩沢裕一氏(岡山大)、深澤知氏(山形大)を「長岡高専解析・確率セミナー」に招聘し、ファインマン・カッツ汎関数の確率解析のみならず、広い意味での確率解析に関する研究についての知見を得られた。
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 3: やや遅れている理由平成24年度中においては、nearly stable processの確率解析の研究についての研究はおおむね纏められ、論文を投稿できた。また、エネルギー零の加法汎関数を重みにもつファインマン・カッツ汎関数の確率解析については当初の目的であったスペクトル下限の独立性のみならず、滞在時間分布の大偏差原理の証明ができた上で、論文を投稿できた。その他、個人で行っている研究についてはまだ纏まった段階ではないものの、現在に至るまで本質的スペクトル下限とコンパクト集合に制限した場合のスペクトル下限の関係、いわゆるPerrsonの定理の一般化についても研究を行っており、その点においては研究が進展していると考えられる。ただ一方で、平成24年度中には新規のテーマについては纏まった結果を提出できていないという点がある。これは独自に行う予定であったYaglom極限などに関する研究が予想以上に困難であり、予定より遅れているという状況を原因としている。これについては平成25年度以降を通じて挽回する必要がある。
今後の研究の推進方策	平成24年度中における遅れについて、Yaglom極限に関する研究は一旦保留の形を取り、平成24年9月に参加した研究集会「Stochastic Analysis and Applications」において得られた知見を基に研究の方針を一部変更する。平成25年度においては解析学的な視点に基き、本質的スペクトル下限の具体的な表示である、Perrsonの定理の一般化に関する問題についての研究を遂行する。この問題は、マルコフ過程の部分過程と境界値問題の関係と捉えることによりポテンシャル論との関係も考えられ、ファインマン・カッツ汎関数の極限としての表現とディリクレ形式による表現の関係を調べたスペクトル下限の独立性に関する研究から連なっているものである。また、この研究が成功した場合、加法汎関数の大偏差原理が成立する条件についての結果を得られると考えられる。当該研究については確率論のみならず幾何学、解析学に関する知見を得ることにより視野を広げ、応用を視野に入れつつ研究を遂行する。
次年度の研究費の使用計画	平成24年度において購入予定であったデスクトップPCであるが、現在使用しているPCについて、平成24年度中はそれ程老朽化しなかった為、購入する必要が無かったため、計上していた予算の内、PC購入に充てる分が持ち越しとなった。とはいえ、平成25年度においては新たに購入する必要があると考えられるため、平成25年度の予算として計上する。その他の研究費については当初の予定通り書籍の購入や旅費、及び他研究機関の研究者の招聘等に利用する。