| 研究課題/領域番号 |
24740108
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| 研究種目 |
若手研究(B)
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
眞崎 聡 広島大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (20580492)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 偏微分方程式 / シュレディンガー方程式 / 解の時間大域挙動 |
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| 研究概要 |
非線形シュレディンガー方程式にの解の崩壊と対応する量子流体方程式の解の崩壊との間にずれがあることに着目し、非線形シュレディンガー方程式の解の構造について研究する予定であった。今年度は計画していたものとは別の方向に予想以上に大きな進展があった。
近年、非線形シュレディンガー方程式の解の時間大域挙動に関しての理解が進んできている。その大きな進展の一つとして、べき乗型の吸引的エネルギー臨界非線形シュレディンガー方程式に対するKenig-Merleらの研究がある。初期値が十分に小さければ対応する解は時間大域的に存在して解が散乱することはよく知られていたが、彼らにより、大雑把に言うと、その"十分小さい"という条件が"基底状態解より小さい"にまで緩める事が出来ることが示された。基底状態解は散乱しない解なので、シャープなところまで広げられたことになる。その後、この手法はエネルギー劣臨界、質量臨界の場合へと広げられた。べき乗型非線型項で言うと、べきの指数がだんだん下げられてきたことに相当する。
今年度の研究によって、べき乗型非線型項の指数をさらに下げ、質量劣臨界の場合にまで彼らの手法を拡張することに成功した。その結果、先行研究で扱われていた場合と同様に最小非散乱解とでも呼ぶべき特殊な非散乱解が存在することを示した、さらに、先行研究の場合では時間大域挙動の転換点となるのは基底状態解であったが、本研究の場合は、非常に興味深いことに、それは基底状態解ではないことが逆に証明できた。この特殊な解について得られた情報は多くないが、もし有界なエネルギーの値をもつものであるならば、それは負の値ではないことを示した。この研究結果は論文としてまとめ、現在投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
今年度の研究で用いた手法は、当初の計画から利用することを想定していたものであるが、それは量子流体方程式の特殊な解の考察のために応用する予定であった。しかし、研究を進めていく中で、この手法そのものの適用範囲を広げるアイデアに気付いたため、その方向に研究を進めた。その結果、当初の計画で扱うはずであった部分の進展は遅れているが、それ以外の方向に予想以上の大きな進展が得られた。非線形シュレディンガー方程式の研究として評価をするならば、当初の計画より価値があるものが得られたと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
当初の計画とは少し異なる方向へ進むことになるが、今年度の研究で新しく発見された方向へともう少し研究を進めていくつもりである。それに二つ理由がある。非線形シュレディンガー方程式の研究として客観的に見た場合、私自身こちらの研究の方が興味深く価値が高いと考えていることが一つ目の理由であり、もうひとつは、こちらの研究は当初の研究に用いる手法自体の拡張に位置づけられるため、当初の計画にも間接的ながらプラスになるからである。
具体的な研究内容を述べると、存在を示した特殊な解に対してその具体的な素性が殆ど分かっていない状態なので、その素性を明らかにしたい。このことにもし成功したならば、非常に価値が高いと考えられる。また、前年度の研究ではストラウスべきと呼ばれる指数が取り扱える下限となっている。一般にはこの指数は単なる技術的なものではないが、本研究に限っては技術的なものと考えられる。この技術的な制約をはずすこともものである。また、平行して当初の計画である量子流体方程式の研究も主に前年度未達成の部分を中心に進める。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
本研究は当初想定していた計画とは多少異なる方向に進展しているが、国内外の研究者と情報交換を密にすることが研究の円滑な遂行のために一番重要である点は全く変わっていないので、予算の執行計画自体には特に変更はない。
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