|
最終年度では、一般化KdV方程式に関して、最小非散乱解の存在について考察を行った。この際、前年度に構築したフーリエルベーグ空間での解析の枠組みを用いた。その結果、一般化KdV方程式においても最小非散乱解が存在することを証明した。この解はソリトン解とは異なる未知の挙動である。さらに、この解はシュレディンガー方程式における最小非散乱解とも関係があることが分かった。この関係は、一般化KdV方程式のある特異極限において、一般化KdV方程式の解が非線形シュレディンガー方程式の解によって近似されるという現象に端を発するものである。
本研究は、非線型シュレディンガー方程式の量子流体としての側面に焦点をあて、滑らかな解の崩壊現象と量子渦の生成現象の理解を目標として出発した。これには、結果を否定して架空の解を考慮するという背理法の議論を用いる計画であった。初年度に、この種の背理法による解析の鍵となる凝集コンパクト性の手法を重み付きL2空間の枠組みで構築した。この手法に意外な応用があることに気づいたことによって、本研究は予想外の進展を見せ、質量劣臨界ケースにおける最小非散乱解の発見という結果を得られた。この解は未知の挙動をもっており、この解の解析が学問的な重要性がより高いと判断し、当初の計画を変更しこの解の性質を明らかにすることを目標として研究を進めてきた。
平成24・25年度は、非線型シュレディンガー方程式における最小非散乱解の存在について考察した。平成26年度からは、非線型シュレディンガー方程式と関係の深い一般化KdV方程式へと考察の対象を広げた。この解析のために、フーリエルベーグ空間での解析を行った。その際に、フーリエルベーグ空間における時空分散型評価を新たに導入した。平成27年度は、これらの枠組みを用いることによって、一般化KdV方程式にも未知の挙動の解が存在することを確かめた。
|
