| 研究課題/領域番号 |
25247002
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
栗原 将人 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (40211221)
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| 研究分担者 |
松野 一夫 津田塾大学, 学芸学部, 准教授 (40332936)
八森 祥隆 東京理科大学, 理工学部数学科, 准教授 (50433743)
田中 孝明 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (60306850)
小林 真一 東北大学, 理学研究科, 准教授 (80362226)
藤井 俊 金沢工業大学, 基礎教育部, 講師 (20386618)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 岩澤理論 / 整数論 / Selmer群 / 岩澤加群 |
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| 研究実績の概要 |
岩澤理論は、整数論の中で大変活発に研究され発展している分野、理論のひとつである。岩澤理論の中核をなすのは、いわゆる岩澤主予想と呼ばれる関係である。この関係を簡潔に述べると、イデアル類群や楕円曲線のSelmer群さらにはその一般化にあたるさまざまなcohomology群などの数論的に重要な群への Galois 群の作用から決まる特性多項式(代数的なもの)が、p進 L 関数というp進解析的なゼータ関数と一致する、というものである。われわれは、代数的なものとp進解析的なものとの間に上記のような特性多項式以上の詳しい関係がある、という岩澤理論の精密化について、さまざまな観点から研究している。また、ゼータ関数、L関数の整数点での値(特殊値)と代数的対象物との間のつながりについて、新しい観点から研究を進めている。
この年度に得られた成果について述べると、King's College LondonのBurnsおよび佐野昂迪との共同研究では、ゼータ関数の値と関連する代数的な元であるゼータ元の観点からRubin Stark元を研究した。特にそれを、Selmer群のGalois加群構造の研究に用いた。また、p進L関数が自明な零点を持つ場合にも、ゼータ元のふるまいを解析することにより、ある条件のもとに同変玉河数予想のp成分を証明した。自明な零点がない場合には、このことは知られていたが、そうでないときは初めての結果である。また、Rubin-Stark元をs=0だけでなく、一般の整数点で定義することに成功し、それらがp進族をなすことを示した。
また、Muenchen防衛大のGreitherとの共同研究により、総実代数体上のCM体でその基礎体上Abelなもののideal類群のマイナス成分のPontrjagin双対のGalois加群の構造について、詳しく調べた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
まず最初に、Burnsおよび佐野昂迪との共同研究では、ゼータ元の観点からRubin Stark元を研究するという手法が、今までいろいろな研究者達によって得られていたさまざまな結果を統一する結果をもたらすことがわかってきた。また、新しく構成したSelmer群(あるいはWeil etale cohomology complex)もさまざまな対象を調べるときに有効であることがわかり、さらに研究を進める。また、p進L関数が自明な零点を持つ場合のゼータ元のふるまいについても、その様子がはっきりわかってきたので、特別な場合に同変玉河数予想を証明したが、さらに発展させていきたいと考えている。
次に、実績の概要のところにも述べたように、Muenchen防衛大のGreitherとの共同研究では、新しい定式化で、CM体のideal類群のマイナス部分を調べたが、基礎体が有理数体のときに、Abel拡大体のideal類群のPontrygin双対加群を考えると、それらのFitting idealは双対を取らない場合と違って、Stickelberger idealとは異なるという結果を得ることができた。この研究の手法は、総実代数体上のある有限集合の外で不分岐な岩澤加群に対して適用することもでき、その方法で同変玉河主予想を一般化するという研究も進んでいる。この定式化を完全なものにするために、組合せ論的に定義される、あるイデアルを決定する必要があるが、その計算もできあがっている。
2015年5月にロシアのSt. Petersburgで行われた局所数論幾何の国際研究集会、および2015年7月に中国の三亜で行われた整数論の国際研究集会、および2015年9月にアメリカのBoston大学で行われたworkshopで、研究代表者の栗原が上記の新しい成果についての講演を行った。
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| 今後の研究の推進方策 |
上記の 「現在までの達成度」 の欄で述べた、ゼータ元やRubin-Stark元の研究、および同変岩澤主予想の研究は、さらなる発展が期待できるため、今後もこれらの研究を共同研究者達と、推進していく予定である。
まず、Rubin Stark元をp進familyとしてとらえる研究を発展させることを考えている。s=0のところで定義される従来のRubin-Stark元をすべての整数点で定義し、p進族としての性質を調べることは、岩澤理論的に重要な応用を持つので、この方面を明らかにしていきたい。また、同変岩澤主予想の新しい定式化について詳しく研究していく。特に、有限次拡大体のレベルでどのようなことが言えるかを明確にし、われわれの精密化がどの程度の情報を持っているかを、明らかにしたいと考えている。当初予期していたより、一般性のあるきれいな理論が得られることがわかってきているので、この理論をできるだけ一般化し、既存のさまざまな理論とのつながりも研究していく予定である。
また、Selmer群の構造定理に関しても、研究を再開する予定である。楕円曲線の場合だけでなく、重さが2より大きい保型形式の場合に一般化して、多くの数値例を得たいと考えている。p=2の場合の岩澤理論は今まで例外扱いされてきたが、この場合も本格的に取り組んでいく。
次年度も、情報を発信するため、また新しい情報を手に入れるために、海外出張を予定している。さらには、海外から数名の岩澤理論の専門家を招へいすることも考えている。
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