| 研究課題/領域番号 |
25247003
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
二木 昭人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90143247)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | アインシュタイン計量 / ケーラー多様体 / Fano 多様体 / リッチ流 / リッチ・ソリトン / 平均曲率流 / 自己相似解 / 安定性 |
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| 研究実績の概要 |
正のケーラー・アインシュタイン計量の存在と K-安定性の同値生の証明は，因子に沿って cone angle を持つケーラー・アインシュタイン計量を用いた証明が Chen-Donaldson-Sun により与えられた後，ケーラー・リッチ流を用いた証明，旧来の連続法を用いた証明が Chen-Sun-Wang, Datar-Szekelyhidi により更に与えられた．実際,第１Chern類が負か0の場合は Aubin と Yau によるモンジュ・アンペール方程式を用いる証明の他，Cao によるケーラー・リッチ流を用いた方法でも与えられる．第１Chern類が正の場合はケーラー・リッチ流を用いた証明はごく最近 Chen-Wang によりが与えられたが，その観点からリッチ流のGromov-Hausdorff収束ないし Cheeger-Gromov 収束に関する解析を精密に調べることは興味深い．こうした特異点解析はリッチ・ソリトンの研究と共に今後も引き続き研究する必要がある．今年度はこうした新しい技法をスカラー曲率一定ケーラー計量の存在に関する Yau 予想への応用の可能性を調べるとともに，基礎となる基本的結果の他の同種の問題への応用を試みた．その結果として，Fano-Ricci limit space というアイデアに本多小平，斎藤俊輔との共同研究により行き着いた．Fano-Ricci limit space において固有値，固有関数の収束を示したが，ポアソン構造が収束するかは自明ではなく，収束するための条件を求めた．2015年7月に国際研究集会 Trends in Modern Geometry とThe 10th Pacific Rim Complex Geometry Conference を兼ねて東京大学大学院数理科学研究科とホテルサンバレー那須で開催し，この研究を進めた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
論文 The weighted Laplacians on real and complex metric measure spaces が Birkhauser の Progress in Mathematics から出版され，また小野肇との共著の survey も出版された．ケーラー・アインシュタイン計量の存在問題の理解を深めるとともに，スカラー曲率一定ケーラー計量の存在についての新しい取り組みを始めた．具体的には Fano-Ricci limit space という新しい概念への取り組みを始めた．
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き，幾何学的流れの自己相似解であるリッチ・ソリトン，平均曲率流の自己相似解を通してケーラー・アインシュタイン計量，およびその一般化であるスカラー曲率一定ケーラー計量の存在問題，特殊ラグランジアンの存在問題に取り組む．また，スカラー曲率一定ケーラー計量の存在問題の拡張にあたる共形的ケーラー，アインシュタイン・マックスウェル計量の存在問題にも取り組みたい．
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