| 研究課題/領域番号 |
25247003
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
二木 昭人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90143247)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | アインシュタイン計量 / ケーラー多様体 / Fano 多様体 / リッチ流 / リッチ・ソリトン / 平均曲率流 / 自己相似解 / 安定性 |
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| 研究実績の概要 |
本研究期間の前半は Gromov-Hausdorff 極限の接錐における佐々木・アインシュタイン構造の研究，後半は共形的ケーラー，アインシュタイン・マックスウェル計量の研究を行なった．Donaldson-Sun は両側からRicci が有界なケーラー・アインシュタイン多様体の無限列の Gromov-Hausdorff 極限の性質を調べ，極限は正規代数多様体であること，接錘は一意的であること，接錘の正則部分は佐々木・Einstein多様体の錘であることを示している．Cheeger-Coldong に始まるRicci limit space の理論では，接錘の性質を極限空間の性質に反映させることが議論の大筋である．その意味で，極限空間の接錘についての研究が第1歩である．そもそも，接錘が一意的かというのが基本的であるが，一般の Riemann 多様体の場合，Ricci 曲率が下から有界な列の極限空間は接錘が一意的でないことが Colding-Naber によって例をもって示されている．これまでの小野肇，Guofang Wang との共同研究で高さ一定のトーリック・ダイアグラムから作られる佐々木多様体は佐々木・アインシュタイン計量を持つことを証明したが，このことからトーリック佐々木・アインシュタイン多様体はトーリック・ダイアグラムという組み合わせ的データと同一視される．佐々木・アインシュタイン多様体に対する知見をケーラー多様体の列のGromov-Hausdorff 極限の幾何に適用することを試みた．共形的ケーラー，アインシュタイン・マックスウェル計量の研究においては佐々木・アインシュタイン計量と同様の体積最小原理を用いた研究が進展した．2016年7月に国際研究集会 Trends in Modern Geometry を開催した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Fano Ricci limit space の第1固有空間のポアソン構造の解析を行った．極限空間の特異点解析を佐々木・アインシュタイン多様体を用いて調べる試みを行った．Fano Ricci limit space に関する本多正平，斎藤俊輔との共著論文が Asian J. Math. から出版予定となった．共形的ケーラー，アインシュタイン・マックスウェル計量の研究の体積最小原理を見出した．
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き，幾何学的流れの自己相似解であるリッチ・ソリトン，平均曲率流の自己相似解を通してケーラー・アインシュタイン計量，およびその一般化であるスカラー曲率一定ケーラー計量の存在問題，特殊ラグランジアンの存在問題に取り組む．また，スカラー曲率一定ケーラー計量の存在問題の拡張にあたる共形的ケーラー，アインシュタイン・マックスウェル計量の存在問題の体積最小原理を用いた研究を引き続き行う．
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