| 研究課題/領域番号 |
25247006
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| 研究種目 |
基盤研究(A)
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
小林 俊行 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (80201490)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 解析学 / 幾何学 / 表現論 / リー群 / 分岐則 |
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| 研究概要 |
（１）（分岐則の重複度）簡約リー群の等質空間上の関数空間がいつ認容的であるか？という非可換調和解析における基本問題を完全に解決した。すなわち、その必要十分条件は空間が実球多様対であることを発見し、代数解析を用いて論証した（第１２論文、Adv.Math, 2013)。その応用として、研究代表者の小林は、簡約リー群の無限次元表現を部分群に制限したときの各既約成分の重複度が無限、有限、一様有界（とくに無重複）になるための必要十分条件を証明した（第１論文）。さらに、上記の判定を満たす簡約対称対の分類を完成させた（第２論文、Dynkin９０歳記念号)。
（２）（極小表現のシュレーディンガーモデル）研究代表者は、共形幾何を用いた極小表現の構成に成功したのをきっかけに、極小表現をモチーフにした新しい大域解析を提唱し、その理論の進展を主導してきた。当該年度は、ジョルダン代数を援用して、極小冪零軌道の幾何的量子化として極小表現をあるラグランジュ部分多様体上の二乗可積分関数上に構成した(第１１論文、JMSJ, with Hilgert, Mollers)。さらに、極小表現に付随した新しい特殊関数論と大域解析に関して、未解決問題と最新の結果を著した（アメリカ数学会、Frenkel還暦記念号、第７論文）。
（３）（F-methodによる同変微分作用素の研究) Symmetry Breaking Operatorを統制する微分方程式系を構成するというアイディアに基づいて、研究代表者の小林は、同変微分作用素の具体形を決定する手法（F-method）を開発し、その概要を速報した（第８論文、アメリカ数学会、Helgason80歳記念号）。さらに、一次独立な同変微分作用素が高々有限個しかないような幾何的設定の十分条件を与えた（第６論文、Eastwood６０歳記念号）。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
当該年中に１０を超える（査読付き）の論文を執筆することができたが、これは、当該研究者の主導の下、内外の研究協力者と夜に日を継いでハードワークをしたこと、それによって、研究計画をたてたときには、みえなかった数学的風景がみえ、より本質的な進展にエネルギーを注ぐことができたこと、強力な国際チームを牽引して新しい結果を次々に公表することによって内外の情報が入りやすくなったこと等が主因であると考える。
とりわけ、分岐則が常に有限重複性をもつような対称対の分類理論は、執筆に多大な時間が必要であり、出版までに早くても２年はかかると想定していたが、夜に日を継いで証明を改良し、明快な論理構成の論文を完成させることができた。査読も早く終了し、当該年度に出版させることができた（第二論文）。これをベースにして、新谷関数に関する有限次元性の特徴付けに関する論文の執筆も当該年度に行うことができた。これらにより、当初の計画のスピードを相当上回った。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究代表者が主導して進めている（１）非リーマン局所対称空間のスペクトル理論
（２）Symmetry breaking operatorsの解析（３）非対称空間おける大域解析、を内外の研究協力者と組んで研究を進める。
具体的には、（１）は研究代表者が２５年にかけて主導してきたリーマン幾何の枠組を超えた不連続群の理論と、簡約リー群の無限次元表現の理論の２つの分野にまたがる新しい研究領域である。これを、非リーマン等質空間における不連続群の変形理論の最先端で研究しているフランスのKassel博士と共同で研究を推し進める。（２）は前年度の研究成果により、symmetry breaking operatorsのより深い解析が可能な枠組が解明された。そこで、デンマークのOrsted教授、フランスのPevzner教授、チェコのSoucek教授らとチームを組み、研究代表者が提唱したF-methodを応用した解析を推し進める。さらに、アメリカのSpeh教授と夏に２週間の集中的な研究によって積分作用素によるsymmetry breaking operators の構成の研究を進める。（３）は秋にフランスのIHES研究所に滞在し、Benoist教授と緩増加な等質空間の研究を推し進める予定である。
さらに、この分野の中心的な研究者が出席する重要な研究集会を選び、国内外に積極的い出張を行い、情報交換とともに、新しい研究成果が遭遇することによってさらに大きな飛躍が生まれる可能性が見込める場を設ける。本研究の発展や転機が生じた場合は、必要と緊急度に応じて、研究組織のメンバーが出張して直接研究連絡を行うか、あるいは、その研究協力者を招聘する。
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