| 研究実績の概要 |
今年度に彫られた研究成果としては、まずルート系のゼータ関数の関数関係式の研究が挙げられる。これについて、従来計算できていなかった B 型、D 型の場合の、一般 Bernoulli 多項式の生成関数の明示的な表示式を得ることができた他、部分分数分解を用いた全く別の手法で、C_2 型のゼータ関数の新しい関数関係式も示した。
また、Schur 多重ゼータ関数とルート系のゼータ関数との間に、関連性があることを発見したのも大きな進展である。いわゆる反フック型の Young 図形に対応する Schur 多重ゼータ関数について、少なくとも縦横どちらかの図形の長さが３以下の場合、A 型のルート系のゼータ関数の一次結合として表示できることが判明した。より一般の状況についても、分析が進行中である。
値分布論の方面では、Dirichlet のL関数の対数微分について、実部が１の線上での指標に関する平均値の値分布について、漸近公式を証明することができた。この結果は特に s=1 の場合、Ihara, Murty, Shimura の先行研究によって、法が素数で、かつ Riemann 予想を仮定するという強い条件下で得られていた誤差項評価を、無条件に証明したものである。
値分布については普遍性定理の方面でも進展があり、非常に一般的な形の Euler 積と、有限個の周期的 Hurwitz ゼータ関数との間に、離散的同時混合普遍性が成り立つことを示した。離散的な場合には、パラメーターの数論的な条件によって状況が変化し、ある場合には Euler 積そのものを、有限個の因子を取り除いたものに変形する必要がある。そのようなタイプの普遍性定理は今まで知られていなかったものである。
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