| 研究課題/領域番号 |
25287007
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
木村 俊一 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10284150)
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| 研究分担者 |
山田 裕史 熊本大学, 自然科学研究科, 教授 (40192794)
與倉 昭治 鹿児島大学, 理学部, 教授 (60182680)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 代数幾何 / モチーフ |
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| 研究実績の概要 |
X>Sは非特異代数多様体の射影族で、TはSの subscheme とし、tがTの点ならX_tのモチーフは有限次元的であると仮定する。TがSのOpen dense subscheme なら、任意のSの点sに対しX_sのモチーフも有限次元的となることが知られているが、より強く、一点tで有限次元的であれば全てのsで有限次元的であることが期待されている（というか、任意の代数多様体のモチーフは有限次元的であると期待されている）。特にこのことから、Tの点tでCH_0X_tがZと同型ならば、任意のsでCH_0X_sがZと同型になると予想される。本年度はMao Sheng 教授、Mingwei Zhang 氏との共同研究で、この予想について大きな進展があった。
Tの点tに対してCH_0X_tがZと同型ならば、ある effective zero cycle cが存在して、X_tの任意の２点P, Qに対して、 [P]+cと[Q]+cがX_tの対称積の中の有理曲線３本の鎖で結ぶことができる。このとき、T上全てでこのようなことが成り立つのであれば、cの次数と有理曲線の算術種数が有界となることが証明できた。これにより、CH_0X_t=Zを実現する普遍的な変形を構成することができる。
特にこのテクニックを用いて、Mumford の Fake Projective Plane 上でBloch 予想が成立すること（従って、Fake Projective Plane のモチーフが有限次元的であること）の証明につながると期待される。
５月にMao Sheng 教授とJames Lewis 教授を広島大学及び北海道大学に招聘して、北海道大学で研究集会を行った。また９月と１１月に中国科学技術大学を訪れて、研究打ち合わせを行った。
１１月にGary Greaves 氏を東北大から招聘し、３つの固有値のみを持つグラフの分類について講演してもらった。３月に岡山大学で第３回広島～岡山代数学シンポジウムを開催した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度は、研究本来の狙いであるモチーフの有限次元性に対して、Mao Sheng 教授および Mingwei Zhang 氏との共同研究を進め、新しいアプローチを見出した。特に Fake Projective Plane に対して通用するはずの特殊なアイデアであるが、Fake Projective Plane は Bloch 予想を考えるにあたり特に重要な対象であると考えられ、また同様のテクニックが高次元の他の代数多様体に対しても適用できることが期待される。
また、岡山～広島代数学シンポジウムも第３回目を数え、若い研究者に発表の機会を与え、また広島と岡山の代数系の大学院生の間の交流を進めることで相互に刺激を与えることができた。
Gary Greaves 氏は固有値を３つしか持たないグラフの分類について講演を行った。
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| 今後の研究の推進方策 |
２７年度の研究によって、CH_0X_tが全てZと同型となるような族に対しては、普遍的な０サイクルの変形族が存在することが証明できたので、２８年度はその結果を Mumford の Fake Projective Plane に対して適用する。その歳に、混標数の族を考える必要があるため、そのための理論の精密化をはかる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
３月の第３回広島ー岡山代数学シンポジウムの際に招待講演者の旅費として１０万円を使用する予定であったが、本科研費の研究分担者でありかつ同シンポジウムの世話人でもある山田教授の岡山大学から熊本大学への異動が急に決まり、外部から講演者を招聘する事務的な時間が取れなかった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
第４回広島ー岡山代数学シンポジウムの際に、熊本から広島への往復旅費が別途必要となり、また熊本大学から他の講演者を広島へ招聘するので、その旅費として用いる。
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