| 研究概要 |
第一空間内を基点が動き、全体は第二空間内を移動するそのような閉ループからなる相対ループ空間を考える。この空間のホモロジーは第一空間がPoincare双対空間である場合, Chas-Sullivanループ積を一般化した積構造を持ち相対ループホモロジーと呼ばれる。まずこの積をEilenberg-Moore スペクトル系列 (EMSS)に持ち上げて, その初項ページが第一, 第二空間のコホモロジーのHochschildコホモロジーで記述できることを示した。一般のループホモロジーでは期待できない関手性, 特に相対ループホモロジーは第二空間Mを固定することで, その上のPoincare双対空間がつくる圏からMの基点付きループホモロジー上の代数がつくる圏への関手を導くこと, また第一空間Nを固定することで, Nを上空間にもつ空間の圏からNのループホモロジー上の代数がつくる圏への関手になることを示した。ループホモロジーに収束するEMSSの境界準同型写像の考察から, EMSSの拡張問題を解く一つの方法を与えたことは特筆される。
具体的計算に関しては, 上述のEMSSとその性質をコホモロジー環が単生成である空間および低次元のStiefel多様体に応用し, それらのループホモロジーを完全に決定した。この結果はCohen, Jones, Yan や Chataur, Le BorgneによるLeray-Serre型スペクトル系列を用いた計算の再確認であるばかりでなく, Hochschild コホモロジーによるより一般的な代数計算が, ループホモロジーの計算に適用可能であることも示したことになる。またEMSSの比較によりG/SU(2)型等質空間の双対ループホモロジーを完全に決定することにも成功した。以上の結果はすべて論文としてまとめられた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
25年度の研究は次の1, 2の考察に主眼をおくものであった。1. ランク 1 の等質空間上の2次元位相的量子場理論構造の決定 ー 相対ループホモロジーに収束する Eilenberg-Moore スペクトル系列 (EMSS) の応用 ー 2. ネーター的 Hopf 空間のループ (余) 積に関する公式の導出と (I) の計算への応用。 ストリング作用素のうちループ積に関してはその計算方法を一つ確立したと言って良い。ただし一般のGorenstein空間に関してはループ(余)積の合成の自明性定理が示されいないので, 位相的場の理論構造の決定までには至っていない。2に関しては与えられた空間のGorenstein性を調べる方法を考察し, 空間チェインExt群の双対性に関するFelix, Halperin, Thomasの結果を一般化した。これを用いてネーター的 Hopf 空間がGorenstein空間であることまで確認できた。
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| 今後の研究の推進方策 |
Gorenstein空間のループホモロジーに収束するEMSSにはループ余積も持ち上がる。この事実を用いて研究1を進める計画である。研究2の公式の導出方法に関しては26年度中頃には目処をつけ, その証明を完成させる。これらの結果をまとめて学会, 研究集会等で発表行い, さらに関連領域の研究者と議論を行うことによりEMSSの計算方法を改良していく。また27年度以降の研究に向け, 分類空間のストリングトポロジーの研究, 特に加群微分子を用いたループ余積の具体的計算も26年度末には開始する。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
当初計画よりも安価で研究が遂行できた上に, 次年度に開催の国際研究集会に参加予定が決まり, 次年度に予算を繰り越した。
国際研究集会のための出張旅費に加え, 自身の出張旅費および本研究に関連し企画開催するセミナー, 勉強会, 研究集会の講師旅費等に使用する。また研究に必要な図書, 特に導来圏, ストリングトポロジー関連図書とプレゼンテーションや資料整理に必要な物品の購入費にも本経費を使用する予定である。
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