| 研究課題/領域番号 |
25287011
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
後藤 竜司 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30252571)
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| 研究分担者 |
満渕 俊樹 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80116102)
小木曽 啓示 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (40224133)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | カラビーヤオ多様体 / 一般化された複素多様体 / 一般化されたケーラー多様体 / 超ケーラー多様体 / ポアソン構造 / シンプレクティク構造 / 複素構造 / 変形理論 |
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| 研究概要 |
研究代表者：後藤はカラビーヤオ構造そして一般化された幾何構造について研究を行った. これらは後藤が確立した“特殊な微分形式の定める幾何構造の理論”が適用出来る重要な幾何構造となっている. カラビーヤオ多様体についてはカラビ予想, すなわちリッチ平坦ケーラー計量の存在と一意性を重要なノン－コンパクト多様体のクラスについて示すことを目標に研究を行った. 半径１の測地球の体積の増大度に対応してALE,ALF, ALG というノンコンパクトケーラー多様体の興味深いクラスがある. リッチ平坦ケーラー計量の存在については進展があったが, 一意性についてはまだ研究途中である. 一般化された幾何学には一般化された複素構造, 一般化されたケーラー構造, 一般化されたカラビーヤオ構造, 一般化された超ケーラー構造などがあり, ポアソン幾何学, 非可換何, 導来圏の変形, ４次元多様体の微分トポロジーとの関連が様々な形で示唆されている.これらとの関連を明らかにし, 一般化された幾何学の研究を進展させた. 具体的には次のテーマに焦点を合わせて, 研究を行った. (1) 特異点を持つ一般化された複素多様体のスムージングの問題 (2) 一般化されたカラビーヤオ構想、超ケーラー構造の構成 (3) 奇数次元多様体上の一般化された幾何構造(一般化された接触構造, 一般化された佐々木構造) (4)４次元多様体上の微分トポロジーと一般化された複素構(5) 導来圏の変形と一般化された幾何構造. テーマ(2) については, ２次元以上のトーラス作用をもつ通常のカラビーヤオ多様体や超ケーラー多様体を一般化されたカラビーヤオ多様体や一般化された超ケーラー多様体に変形する方法を発見した. これらは非自明な一般化されたカラビーヤオ構想、超ケーラー構造の最初の例であると思われる.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ノンコンパクト多様体のカラビ予想についてはあまり進展が見られなかった. (1) 特異点を持つ一般化された複素多様体のスムージングの問題 についてはあまり進展がなかった.
(2) 一般化されたカラビーヤオ構造、超ケーラー構造の構成: トーラス作用がある場合には非自明な一般化されたカラビーヤオ構造、超ケーラー構造の構成に成功した. 現在はこの結果を論文にまとめる準備をしている. (3) 奇数次元多様体上の一般化された幾何構造(一般化された接触構造, 一般化された佐々木構造): 一般化された接触構造, 一般化された佐々木構造の純粋スピノルの立場から適切な定義を与え, 偶数次元の一般化された複素構造、
一般化されたケーラー構造との対応を示した. また変形の安定性を確立し, これら幾何構造の非自明な例を構成した. (4) ４次元多様体上の微分トポロジーと一般化された複素構造:早野健太氏との共同研究を行いトーラスに沿った対数変化を使い興味深い４次元一般化された複素多様体を構成した. これら４次元多様体は通常の複素構造もシンプレクティック構造も持たないのであるが、複素構造とシンプレクティック構造の混合した一般化された複素構造の族を持っている. シンプレクティック構造が複素構造に変化する場所をジャンピングーローカスというのであるが、こののジャンピングーローカスの連結性分の数をいくらでも大きく出来ることを示した. (5) 導来圏の変形と一般化された幾何構造:これについては現在研究を進行中である.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後, 研究上の進展が期待されるのは
上記テーマのうち. (2) 一般化されたカラビーヤオ構想、超ケーラー構造の構成, (3) 奇数次元多様体上の一般化された幾何構造(一般化された接触構造, 一般化された佐々木構造)(4) ４次元多様体上の微分トポロジーと一般化された複素構造, である. これらの研究を推進する. また, 一般化された複素曲面あるいは一般化された３次元多様体の変形やモジュライ空間の構成に進展が見られている. 例えば, ２次元複素射影空間は複素多様体としては変形を持たないが, 一般化された複素多様体としては, その中の楕円曲線に応じて２次元の変形族が得られる. 現在, ２次元複素射影空間上の一般化された複素構造のモジュライ空間の構成に成功しているので, この結果をデルペッソ曲面などに拡張してモジュライ空間の構成を行う. 面白いことにこのモジュライ空間次元は楕円曲線の補集合の位相的な性質だけから決まり、楕円曲線が非特異なところでは非障害的な変形となっている. このモジュライ空間の境界に付け加えたものは”退化した一般化された複素構造"である. この一般化された複素構造の退化現象を調べる必要が生じている. ３次元ファノ多様体上の一般化された複素構造はさらに面白い様相を示している. 例えば, ３次元複素射影空間上の一般化された複素構造の変形空間は６つの既約な連結性分を持っている.これら連結性分はそれぞれ３次元複素射影空間上の正則なポアソン構造に対応している. これらはまた, 正則な特異葉層構造に対応している. これら６つの連結性分をコンパクト化し, モジュライ空間を構成する. さらにこれら連結性分同士の関係を調べ, 一般化された複素構造の退化現象を調べる. さらに ３次元のファノ多様体上の一般化された複素構造の研究を推進する.
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| 次年度の研究費の使用計画 |
H２６、２７、２８、２９年度に海外の研究集会に参加し, 研究集会を開催することを計画しているために, 研究費を繰り越すことにした.
現在ではH26 年度６月にイタリアのトリノで研究集会を計画している. 世界中から関連する分野の研究者を招待し、旅費や宿泊費などに使用する予定である. またH26年末には菅平で国際研究集会を開催する.
このために, 参加者の旅費や宿泊費などに使用する. また H26 末には上海で国際研究集会に招待されており, 講演する予定である.
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