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2013 年度 実績報告書

曲面の変分問題の幾何解析における新しい方法の探求

研究課題

研究課題/領域番号 25287012
研究種目

基盤研究(B)

研究機関九州大学

研究代表者

小磯 深幸  九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (10178189)

研究分担者 庄田 敏宏  佐賀大学, 文化教育学部, 准教授 (10432957)
川上 裕  山口大学, 理工学研究科, 講師 (60532356)
小野寺 有紹  九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教 (70614999)
研究期間 (年度) 2013-04-01 – 2017-03-31
キーワード国際研究者交流(ブラジル:韓国) / 国際情報交換(米国) / 変分問題 / 極小曲面 / 平均曲率一定曲面 / 分岐理論 / 安定性
研究概要

変分問題の解の大域的性質、安定性、解空間の構造を研究することは重要である。本研究では、以下に述べるように、ユークリッド空間内の三重周期極小曲面の成す空間の構造を明らかにする手がかりを得、また、平均曲率一定超曲面に対するある変分問題の安定解を決定した。
1.庄田敏宏氏(佐賀大学)とPaolo Piccione氏(ブラジル・サンパウロ大学)との共同研究により、3次元ユークリッド空間内の三重周期極小曲面に対する分岐理論を構成した。さらに、これを応用することにより、既知の三重周期極小曲面族からの分岐の例を発見した。即ち、H族とrPD族には分岐点がそれぞれ一つあり、tP族とtD族には分岐点がそれぞれ二つあることを証明した。
2.3次元ユークリッド空間内の互いに平行でない二平面(支持平面と呼ぶ)上に自由境界を持ちこれらの平面が囲む閉領域内にはめ込まれた曲面全体の集合を考える。曲面の境界が囲む支持平面内の領域の面積にあらかじめ与えた重み定数をかけたものを濡れエネルギーと呼ぶ。曲面の面積と濡れエネルギーの和を曲面の総エネルギーとする。曲面が囲む符号付き代数的体積を保つ任意の変分(許容変分と呼ぶ)に対する総エネルギーの臨界点(解と呼ぶ)は、支持平面との接触角が一定であるような平均曲率一定曲面となる。各解は、任意の許容変分に対する総エネルギーの第二変分が非負である時に安定であると呼ばれる。濡れエネルギーが正である場合について、Jaigyoung Choe氏(KIAS, Korea)との共同研究により、以下の結果を得た。
(1) 安定解であって、各支持平面との交わりが一つの単純閉曲線であるものは、球帽(球面の部分集合)に限ることを証明した。(2) 一般次元ユークリッド空間内の超曲面に対して問題を一般化し、各支持超平面との交わりが凸閉部分多様体であるものは球帽に限ることを証明した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

超曲面に対する変分問題の解の大域的性質、安定性、解空間の構造の解明に関する二件の重要な研究成果をあげることができた。

今後の研究の推進方策

1.3次元ユークリッド空間内の三重周期極小曲面について、既知の族からの分岐の存在を証明したので、これにより得られる新しい曲面の表示式を得、さらに安定性の解析を行う。
2.今年度は、互いに平行でない二超平面に自由境界を持ちこれらの超平面が囲む閉領域内にある平均曲率一定超曲面について、付加的仮定のもとで安定解を決定した。この付加的仮定を取り除きより一般的な結果を得、さらに、物理現象への応用を検討する。
3.非等方的平均曲率一定曲面に対する表現公式及び特異点についての研究を行い、これを応用することにより、ローレンツ・ミンコフスキー空間内の空間的及び時間的平均曲率一定曲面の統一的な研究を進める。

次年度の研究費の使用計画

3月に行った海外出張旅費について、校費から援助があったため。
国内外での研究成果発表及び共同研究のための旅費に使用する予定である。

  • 研究成果

    (12件)

すべて 2014 2013 その他

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (8件) (うち招待講演 8件) 図書 (1件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Stability of hypersurfaces with constant mean curvature and applications to isoperimetric problems2013

    • 著者名/発表者名
      Miyuki Koiso
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku

      巻: 1850 ページ: 23-33

  • [雑誌論文] Stable surfaces with constant anisotropic mean curvature and circular boundary2013

    • 著者名/発表者名
      Miyuki Koiso and Bennett Palmer
    • 雑誌名

      Proceedings of the American Mathematical Society

      巻: 141 ページ: 3817-3823

    • DOI

      DOI: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-2013-11892-7

    • 査読あり
  • [学会発表] Bernstein-type theorems for surfaces with constant anisotropic mean curvature and CMC surfaces in the Lorentz-Minkowski space

    • 著者名/発表者名
      Miyuki Koiso
    • 学会等名
      7th International Meeting on Lorentzian Geometry
    • 発表場所
      Sao Paulo, Brazil
    • 招待講演
  • [学会発表] Free boundary problem for surfaces with constant mean curvature

    • 著者名/発表者名
      Miyuki Koiso
    • 学会等名
      International Workshop on Special Geometry and Minimal Submanifolds
    • 発表場所
      Tohoku University, Japan
    • 招待講演
  • [学会発表] 曲面の変分問題の解の安定性 --- 判定法と応用.極小曲面と平均曲率一定曲面を中心に ---

    • 著者名/発表者名
      小磯深幸
    • 学会等名
      山口幾何学研究集会2013 --- 進化する曲面論 ---
    • 発表場所
      山口大学
    • 招待講演
  • [学会発表] Geometry of hypersurfaces with constant anisotropic mean curvature

    • 著者名/発表者名
      Miyuki Koiso
    • 学会等名
      The 2013 Annual Meeting of the Taiwan Mathematical Society
    • 発表場所
      National Sun Yat-sen University, Taiwan
    • 招待講演
  • [学会発表] Stable capillary hypersurfaces in a wedge and uniqueness of the minimizer

    • 著者名/発表者名
      Miyuki Koiso
    • 学会等名
      The second Japanese-Spanish workshop on Differential Geometry
    • 発表場所
      Tokyo Institute of Technology, Japan
    • 招待講演
  • [学会発表] 非等方的平均曲率一定曲面に対するバランス公式とその応用

    • 著者名/発表者名
      小磯深幸
    • 学会等名
      福岡大学幾何学研究会
    • 発表場所
      福岡大学
    • 招待講演
  • [学会発表] Balancing formula for immersed hypersurfaces with constant anisotropic mean curvature and its applications

    • 著者名/発表者名
      Miyuki Koiso
    • 学会等名
      名城大学幾何学研究集会 "Progress of geometric structures on manifolds"
    • 発表場所
      名城大学
    • 招待講演
  • [学会発表] Bifurcation theory for minimal and constant mean curvature surfaces

    • 著者名/発表者名
      Miyuki Koiso
    • 学会等名
      Conference on Geometry
    • 発表場所
      Galatasaray University, Istanbul, Turkey
    • 招待講演
  • [図書] A Mathematical Approach to Research Problems of Science and Technology - Theoretical Basis and Developments in Mathematical Modeling2014

    • 著者名/発表者名
      Ryuei Nishii, Shin-ichiro Ei, Miyuki Koiso, Hiroyuki Ochiai, Kanzo Okada, Shingo Saito, Tomoyuki Shirai, 他.
    • 総ページ数
      400
    • 出版者
      Springer
  • [備考] マス・フォア・インダストリ研究所 所員紹介詳細 小磯深幸

    • URL

      http://www.imi.kyushu-u.ac.jp/academic_staffs/view/86

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公開日: 2015-05-28  

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