| 研究課題/領域番号 |
25287013
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
井関 裕靖 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (90244409)
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| 研究分担者 |
勝良 健史 慶應義塾大学, 理工学部, 准教授 (50513298)
服部 広大 慶應義塾大学, 理工学部, 講師 (30586087)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 離散群 / 剛性 / ランダム群 / 非正曲率空間 / 調和写像 / 国際研究者交流 / 韓国：アメリカ：イスラエル |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、離散群の超剛性という性質を、固定点性質等の超剛性と関係の深い種々の性質のある種の extremal な状況として見直し、その幾何学的背景を明らかにすることであった。
平成26年度は、平成25年度までに得られていたランダム群のLp空間への固定点性質に関する結果の改善、およびnステップエネルギーの増大度と剛性の関係についての研究を行った。
ランダム群のLp空間への固定点性質に関する結果については p に関する技術的な理由からの制約を緩和することを試み、ある特別な場合にはこれに成功したが、一般的な設定では満足できる結果には到達していない。平成27年度の課題としたい。
一方で、nステップエネルギーの増大度に関しては、今後に繋がる成果が得られた。離散群が非正曲率空間に固有不連続かつ余コンパクトに作用しているときには、群の境界から非正曲率距離空間の境界への同変写像が存在し、群作用の剛性問題において非常に有用な道具となってきた。離散群が非正曲率距離空間に等長的に作用しているとき、その作用に関して同変な写像の n ステップエネルギーは n の 2 乗以下の増大度をもち、例えば、非従順な離散群が非正曲率距離空間に固有不連続かつ余コンパクトに作用しているときは、増大度はちょうど n の 2 乗となる。一般に、n ステップエネルギーの増大度が 2 乗でもその作用は固有不連続にはならないが、この仮定の下で群のポアソン境界から非正曲率距離空間のティッツ境界への写像が存在することを示すことができた。平成27年度は、この写像を用いて、種々の剛性定理の一般化を目指す。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ランダム群のLp空間に対する固定点性質についての研究の成果にはいささか不満が残るが、n ステップエネルギーの増大度に関しては、予想していた以上に状況を明らかにすることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
ランダム群のLp空間に対する固定点性質については、ヒルベルト空間へのアファイン作用に関する固定点性質からのアプローチを試みる。n ステップエネルギーの増大度については、得られた成果の応用としての剛性定理の証明を目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
ランダム群のLp空間に対する固定点性質に関する研究に若干遅れが出たことと関係し、研究打合せの機会が減じた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
平成26年度未使用分は平成26年度の遅れを取り返すべく、研究打合せの旅費等に使用する。
平成27年度は、ヒルベルト空間へのアファイン作用に関する固定点性質および、n ステップエネルギーの増大度の研究を遂行するために、研究打合せおよび海外の研究者との研究者交流に旅費を使用する。また、資料整理や資料収集のための人件費の使用、および、論文作成や研究発表のためのノート型パーソナルコンピュータの購入も計画している。
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