| 研究課題/領域番号 |
25287013
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
井関 裕靖 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (90244409)
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| 研究分担者 |
服部 広大 慶應義塾大学, 理工学部, 講師 (30586087)
勝良 健史 慶應義塾大学, 理工学部, 准教授 (50513298)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 離散群 / 剛性 / ランダム群 / 非正曲率空間 / 調和写像 |
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| 研究実績の概要 |
平成25年度にはLille大学のMarc Bourdon氏との共同研究で、プレイン・ワード・モデルのランダム群がLp空間に対する固定点性質をもつことを概ね示すことができた。しかしながら、この結果には改善の余地が残されており、昨年度に続き、今年度もこの改善に取り組んだ。しかし、改善にあたっての困難の本質は未だに明確になってはおらず、来年度も引き続きこの課題に取り組む予定である。一方で、昨年度から取り組み始めたヒルベルト空間へのアファイン作用に対する固定点性質の研究は比較的順調に進んでいる。アファイン作用のリプシッツ定数が一様に抑えられている場合のプレイン・ワード・モデルのランダム群の固定点性質に加え、今年度はリプシッツ定数に共役語距離の1/3乗程度の増大を許してもグラフ・モデルのランダム群が固定点性質をもつことを示すことができた。来年度はこの結果の改善にも取り組みたい。
また、今年度は非正曲率距離空間への群の作用のnステップ・エネルギーの増大度を表すharmonic spreadが最大になる場合には、その群のポアソン境界から非正曲率空間のティッツ境界への写像が存在することを示すことができた。このことにより、非正曲率距離空間Xに固有不連続かつ余コンパクトに作用する群が非正曲率距離空間Yへのharmonic spreadが最大になる作用をもつとき、Xのティッツ境界からとYのティッツ境界への写像が存在することが示される。負曲率距離空間と平坦部分空間を含む非正曲率距離空間の境界のティッツ構造には著しい違いがあることが知られている。今後は、この違いに注目することにより、離散群の超剛性現象の幾何学的背景を明らかにしていきたい。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本年度は前年度末に急遽割り当てられた研究以外の用務に時間を割かざるを得ず、当初予定していた研究時間を確保することができなかった。国内および海外での研究打合せや、研究集会への参加、海外研究者の招聘も予定通りには行うことができず、研究成果の発表等の機会も減少した。そのため、研究費も計画通りには使用できておらず、来年度への繰越が生じている。以上のような状況を鑑み、やや遅れていると判断したが、来年度には十分な研究時間を確保して、計画を遂行する予定である。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究時間を確保する方策を立てた上で、プレイン・ワード・モデルのランダム群のLp空間に対する固定点定理の改善、グラフ・モデルのランダム群のヒルベルト空間へのアファイン作用に対する固定点定理の改善に取り組む。さらに、離散群が非正曲率距離空間にharmonic spreadが最大になるような作用をもつときに定義される群のポアソン境界から非正曲率距離空間のティッツ境界への写像の挙動をより詳しく解析する。ポアソン境界は単なる確率空間であり、この写像はポアソン境界の点に対し確率１で定義されるが、その測度の押し出しが非正曲率距離空間のティッツ境界のどのような部分集合であるかは定かではない。この押し出しによって得られるティッツ境界上の測度とティッツ境界の位相との関係を明らかにすることが、境界間の写像の挙動を解析するための最初のステップになると考えている。
来年度は、今年度のような研究計画の縮小がないよう研究活動のための時間を十分に確保し、研究打合せ、研究成果発表を行うなど、研究計画を計画通りに遂行する予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
昨年度末に急遽割り当てられた研究以外の用務に時間を割かざるを得ず、十分な研究時間が確保できなかった。そのため、国内外での研究打合せ、研究集会への参加、海外研究者の招聘等が予定通りに行えず、研究費の使用も計画通りとはならなかった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
研究時間を確保した上で、本年度実行できなかった国内外での研究打合せ、研究集会への参加、海外研究者の招聘等に研究費を使用する。また、研究発表のための機器、ソフトウェア購入などにも研究費を使用する予定である。
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