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本研究の目的は、離散群の超剛性という性質を、固定点性質等の超剛性と関係の深い種々の性質のある種のextremalな状況として捉え、その幾何学的背景を明らかにすることであった。
この目的に沿って、2017年度は2016年度に引き続き、プレイン・ワード・モデルおよびグラフ・モデルのランダム群のヒルベルト空間への必ずしも等長的ではないアファイン作用に関する固定点性質に関する研究を行なった。プレイン・ワード・モデルのランダム群については、一様なリプシッツ連続性をもつアファイン作用が固定点をもつことを示すことができた。一方、グラフ・モデルのランダム群については、リプシッツ定数が共役語距離の低い次数の多項式で抑えられているアファイン作用なら（リプシッツ定数が一様に抑えられていなくても）固定点をもつことを示すことができた。これらの結果は、超剛性に近い性質をもつ群がこれまで考えられてきたよりも一般的であることを示唆している。
また、2017年度はランダム群とは少し異なる視点から超剛性を捉えることにも取り組み始めた。離散群にランダム・ウォークが与えられると、その時刻無限大での分布を表す確率空間であるポアソン境界が定義される。離散群が非正曲率距離空間に作用しているとき、その作用のrate of escapeと呼ばれる量が正であれば、ポアソン境界から非正曲率距離空間の幾何学的境界への同変写像の存在が導かれることがKarlsson-Margulisにより示されている。離散群が局所コンパクトな非正曲率距離空間に作用しているとき、離散群からその非正曲率距離空間への同変調和写像が存在するときには、その作用が平坦部分空間を不変にするか、またはrate of escape が正になることを示すことができた。この結果から存在の保証される境界の間の同変写像には、離散群の剛性の研究への興味深い応用があると考えている。
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