| 研究課題/領域番号 |
25287014
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
村上 順 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90157751)
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| 研究分担者 |
水澤 篤彦 早稲田大学, 理工学術院, 助手 (50707726)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 結び目 / ３次元多様体 / 双曲幾何学 / 量子展開環 / 表現論 |
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| 研究概要 |
本研究においては，まず２次の特殊線形群に対応する量子展開環において，その１の冪根における半単純でない表現に対応する結び目の量子不変量についての研究を行った．３次元球面中の結び目に対しては，以前 logarithmic 不変量と呼ぶものを表現の根基に対応する中心の元をもちいて構成しており，本研究の中で，この不変量を任意の向き付け可能な３次元閉多様体中の結び目の不変量に拡張した．この拡張された不変量の中には，Kashaev が双曲体積との関係を見いだした不変量を３次元閉多様体中の結び目に拡張したものも含んでいるが，この拡張された Kashaev の不変量について，数値計算により，その補空間の双曲体積との関係を調べ，３次元球面中の結び目に対して予想されている体積予想と同様の関係がいくつかの場合で成り立つことを確かめた．
また，３次元球面中の結び目に対する Logarithmic 不変量に対し，これまで知られていた colored Alexander 不変量を用いた公式に加え，colored Jones 不変量を用いた公式を新たに得た．この公式では，葉廣による colored Jones 不変量の公式を用いて，最高ウェイトに対応するパラメータに関する微分を行うことで logarithmic 不変量が得られる．さらに，この公式を活用して， Logarithmic 不変量と双曲体積の関係を８の字結び目に対して調べ，８の字結び目に沿ったコーン多様体の双曲体積との間に，体積予想と同様の関係が成り立つことを数値計算で確認し，また，特別の場合については証明も与えた．
さらに，ハンドル体結び目に対する量子不変量の構成や，Costantino-Murakami 不変量のグラフの埋め込みに対する拡張を行い，これらと双曲体積との関係を調べた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
結び目の logarithmic 不変量を３次元多様体中の結び目の不変量に拡張した．また，logarithmic 不変量を colored Jones 不変量で表示した．さらには，logarithmic 不変量と双曲体積との関係も部分的ではあるが明らかにすることができ，双曲構造と logarithmic 不変量との関係から双曲幾何構造の離散化を構成するという研究の目標に近づくことができた．
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| 今後の研究の推進方策 |
logarithmic 不変量と双曲体積との関係についてさらに詳しく調べることにより，双曲幾何構造の離散化の構成法の手がかりを得る．また，２次の特殊線形群に対応する量子展開環だけでなく，階数の高いリー群に対応する量子展開環についても同様の不変量の構成を行い，対応する幾何構造とその離散化についての手がかりを得る．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
購入予定だった計算機については計算法の改良により既存のもので代用できるようにし，その代わりに海外からの共同研究者の招聘のための旅費に充当した．その差額が次年度使用額となった．
海外との研究者との共同研究が有用なことが分かったので，次年度使用額については海外旅費に充当し，韓国の研究者との共同研究のための旅費に充てる．
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