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2013 年度 実績報告書

空間複雑性と理想境界のポテンシャル解析

研究課題

研究課題/領域番号 25287015
研究種目

基盤研究(B)

研究機関北海道大学

研究代表者

相川 弘明  北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20137889)

研究分担者 志賀 啓成  東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (10154189)
須川 敏幸  東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
木上 淳  京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
加須栄 篤  金沢大学, 数物科学系, 教授 (40152657)
平田 賢太郎  広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (30399795)
利根川 吉廣  北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80296748)
川上 裕  山口大学, 理工学研究科, 講師 (60532356)
研究期間 (年度) 2013-04-01 – 2018-03-31
キーワードHarnack不等式 / 除去可能特異点 / 平均曲率流 / 非線形ネットワーク / Sierpinski carpet / 擬等角変形空間 / ガウス写像 / 熱半群
研究概要

一般領域のDirichlet最小固有値を容量的幅を用いて評価した.熱半群に対するIntrinsic Ultracontractivityを容量的幅とGreen関数により導いた.熱方程式や吸収項をもつ半線形熱方程式の解の除去可能な特異点について考察した.特に,放物型距離に関するMinkowski容量を導入して増大条件や可積分条件を満たす解に対する除去可能集合を調べた.
Klein群の擬等角変形空間の複素構造について研究を行ない,Klein群の不連続成分の形状がその変形空間の構造に大きく影響を与え,様々な複素解析的性質,例えば正則凸性などが変化することを発見した.また,コーシー積分の境界値に関しても新たな知見を得た.
Sierpinski carpet 上の Brownian motion の time change について考察し,speed 測度がユークリッドの距離に対して volume doubling property を持つときには,ユークリッドの距離と quasisymmetric な距離が存在して time changed process の熱核はその距離に関して sub-Gaussian 型の評価を持つことを示した.
Brakkeの定義した幾何学的測度論の枠組みにおける平均曲率流に関連し,境界で直交条件を満たしつつ動く平均曲率流のBrakke解の構成を,Allen-Cahn方程式の特異摂動を用いて行った.また1次元のBrakke解で典型的な3重点周りの正則性定理を証明した.
Modular sequence spaces をモデルにした非線形ネットワーク上のポテンシャル論を展開し,フローに関するトムソンの原理,射に関するレイリー単調性法則,倉持境界とディリクレ問題などについて研究した.複素平面上の非定数有理型関数の除外値数の上限である「2」の幾何学的意味は,その値域であるリーマン球面のオイラー数であることが知られている.この結果に対応するものとして,完備極小曲面のガウス写像や弱完備な平坦波面の標準形式などを含んだ曲面のクラスにおけるガウス写像の除外値数の上限の幾何学的意味を明らかにした.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

除外集合を許したHarnack不等式と箱議論を組み合わせることにより,熱半群に対するIntrinsic Ultracontractivityに対する新しいアプローチを見つけたこと.放物型距離に関するMinkowski容量を導入して除去可能性の範囲を広げたこと.平均曲率流にAllen-Cahn方程式の特異摂動を応用したこと.Klein群の不連続成分の形状が変形空間の構造に大きな影響を与えることを見つけたこと.非定数有理型関数の除外値数の上限値「2」の幾何学的意味を明らかにしたこと.
以上のような数学的研究成果を研究論文12編に著し,国内外の研究集会における23件の招待講演で研究発表を行った.成果発表の場は解析学,幾何学,確率論にまたがっており,研究グループとして幅広い活動を活発に行うことができた.

今後の研究の推進方策

研究代表者,研究分担者によりそれぞれの研究の深化を計る.研究集会を主催,研究者の招聘をして研究成果を広く公表する.それらから得られる反応を研究課題にフィードバックして新しい展開を見いだす.研究分担者,協力者で相互訪問し,連携を緊密にする.とくに若手研究者からのフレッシュな視点を大切にするため,新たな研究分担者を加える.

次年度の研究費の使用計画

研究者招聘のタイミングがずれたため.
韓国におけるICMのサテライト集会に参加および招聘を行う.

  • 研究成果

    (35件)

すべて 2014 2013

すべて 雑誌論文 (12件) (うち査読あり 12件) 学会発表 (23件) (うち招待講演 23件)

  • [雑誌論文] A second derivative Hoelder estimate for weak mean curvature flow2014

    • 著者名/発表者名
      Y. Tonegawa
    • 雑誌名

      Advances in Calculus of Variations

      巻: 7 ページ: 91-138

    • DOI

      10.1515/acv-2013-0104

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A general regularity theory for weak mean curvature flow2014

    • 著者名/発表者名
      K. Kasai and Y. Tonegawa
    • 雑誌名

      Calc. Var. Partial Differential Equations

      巻: 50 ページ: 1-68

    • DOI

      10.1007/s00526-013-0626-4

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Extended Harnack inequalities with exceptional sets and a boundary Harnack principle2014

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Aikawa
    • 雑誌名

      J. Anal. Math

      巻: 未定 ページ: 未定

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Removable singularities of semilinear parabolic equations2014

    • 著者名/発表者名
      Kentaro Hirata
    • 雑誌名

      Proc. Amer. Math. Soc.

      巻: 142 ページ: 157-171

    • DOI

      10.1090/S0002-9939-2013-11739-9

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Two sided global estimates of heat kernels in Lipschitz domains2013

    • 著者名/発表者名
      Kentaro Hirata
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      巻: 43 ページ: 29-45

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Transitions on a noncompact Cantor set and random walks on its defining tree2013

    • 著者名/発表者名
      Jun Kigami
    • 雑誌名

      Ann. Inst. Henri Poincae Probab. Stat.

      巻: 49 ページ: 1090-1129

    • DOI

      10.1214/12-AIHP496

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On injectivity radius in configuration space and in moduli space2013

    • 著者名/発表者名
      Hiroshige Shiga
    • 雑誌名

      In the tradition of Ahlfors-Bers. VI, Contemp. Math.

      巻: 590 ページ: 183--189

    • DOI

      10.1090/conm/590

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the boundary behavior of Cauchy integrals2013

    • 著者名/発表者名
      Hiroshige Shiga
    • 雑誌名

      Annales. Universitatis Mariae Curies-Sklodowska

      巻: Sect. A 67, no. 1 ページ: 65--82

    • DOI

      10.2478/v10062-012-0023-z

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the maximal number of exceptional values of Gauss maps for various classes of surfaces2013

    • 著者名/発表者名
      Yu Kawakami
    • 雑誌名

      Mathematische Zeitschrift

      巻: 274 ページ: 1249-1260

    • DOI

      10.1007/s00209-012-1115-8

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Univalent functions with half-integral coefficients2013

    • 著者名/発表者名
      Naoki Hiranuma, Toshiyuki Sugawa
    • 雑誌名

      Comput. Methods Func. Theory

      巻: 13 ページ: 133-151

    • DOI

      10.1007/s40315-013-0009-z

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On μ-conformal homeomorphisms and boundary correspondence2013

    • 著者名/発表者名
      Vladimir Gutlyanskii, Ken-ichi Sakan, Toshiyuki Sugawa
    • 雑誌名

      Complex Var. Elliptic Equ.

      巻: 58 ページ: 947-962

    • DOI

      10.1080/17476933.2011.613116

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Univalence criteria and analogs of the John constant2013

    • 著者名/発表者名
      Yong Chan Kim, Toshiyuki Sugawa
    • 雑誌名

      Bull. Austr. Math. Soc.

      巻: 88 ページ: 423-434

    • DOI

      10.1017/S0004972712000962

    • 査読あり
  • [学会発表] 平均曲率流の正則性理論について2014

    • 著者名/発表者名
      利根川 吉廣
    • 学会等名
      日本数学会2014年度年会函数方程式分科会特別講演
    • 発表場所
      学習院大学,東京都
    • 年月日
      20140316-20140316
    • 招待講演
  • [学会発表] 曲面のガウス写像の値分布2014

    • 著者名/発表者名
      川上 裕
    • 学会等名
      日本数学会2014年度年会幾何学分科会特別講演
    • 発表場所
      学習院大学,東京都
    • 年月日
      20140315-20140315
    • 招待講演
  • [学会発表] The length spectram distance on the asymptotic Teichmuller space2014

    • 著者名/発表者名
      Hiroshige Shiga
    • 学会等名
      Hyperbolic geometry seminar
    • 発表場所
      Strasbourg University, フランス
    • 年月日
      20140313-20140313
    • 招待講演
  • [学会発表] On the regularity of varifold mean curvature flow2014

    • 著者名/発表者名
      Yoshihiro Tonegawa
    • 学会等名
      Geometric analysis and topology seminar
    • 発表場所
      New York University,アメリカ
    • 年月日
      20140211-20140211
    • 招待講演
  • [学会発表] Intrinsic ultracontractivity and the boundary Harnack principle2014

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Aikawa
    • 学会等名
      Seminaires Analyse Harmonique
    • 発表場所
      Paris-Sud大学,フランス
    • 年月日
      20140210-20140210
    • 招待講演
  • [学会発表] Complex analytic properties of deformation spaces of Kleinian groups2014

    • 著者名/発表者名
      Hiroshige Shiga
    • 学会等名
      New Trends in Teichmuller theory and mapping class groups
    • 発表場所
      Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, ドイツ
    • 年月日
      20140210-20140210
    • 招待講演
  • [学会発表] A local regularity theorem for varifold mean curvature flow / On singular perturbation limit of the Allen-Cahn equation2013

    • 著者名/発表者名
      Yoshihiro Tonegawa
    • 学会等名
      2013 SIAM conference on Analysis of PDE
    • 発表場所
      Hilton Lake Buena Vista ホテル, アメリカ
    • 年月日
      20131207-20131208
    • 招待講演
  • [学会発表] On some analytic properties of deformation spaces of Kleinian groups2013

    • 著者名/発表者名
      Hiroshige Shiga
    • 学会等名
      Conformal Geometry and Riemann Surfaces
    • 発表場所
      Queens College, City University of New York, アメリカ
    • 年月日
      20131027-20131027
    • 招待講演
  • [学会発表] An attempt to characterize quasidisks in terms of zf'(z)/f(z)2013

    • 著者名/発表者名
      Toshiyuki Sugawa
    • 学会等名
      Conference on Geometric Function Theory
    • 発表場所
      University of Belgrade, セルビア
    • 年月日
      20131024-20131024
    • 招待講演
  • [学会発表] Existence and regularity of mean curvature flow with transport term2013

    • 著者名/発表者名
      Yoshihiro Tonegawa
    • 学会等名
      ERC-Workshop on Geometric Measure Theory, Analysis in Metric Spaces and Real Analysis
    • 発表場所
      De Giorgi Center, イタリア
    • 年月日
      20131010-20131010
    • 招待講演
  • [学会発表] Intrinsic ultracontractivity and the boundary Harnack principle -- a unified approach with capacitary width2013

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Aikawa
    • 学会等名
      Evolutionary problems Seminar
    • 発表場所
      Mittag-Leffler研究所,スウェーデン
    • 年月日
      20130926-20130926
    • 招待講演
  • [学会発表] Extended Harnack inequalities with exceptional sets and a boundary Harnack principle2013

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Aikawa
    • 学会等名
      Matematiska vetenskaper
    • 発表場所
      Chalmers大学,スウェーデン
    • 年月日
      20130917-20130917
    • 招待講演
  • [学会発表] Intrinsic ultracontractivity and the boundary Harnack principle -- a unified approach with capacitary width2013

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Aikawa
    • 学会等名
      Analysis and Stochastic Seminar
    • 発表場所
      Uppsala大学,スウェーデン
    • 年月日
      20130913-20130913
    • 招待講演
  • [学会発表] Intrinsic ultracontractivity and the boundary Harnack principle2013

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Aikawa
    • 学会等名
      Matematiska kollokviet
    • 発表場所
      Linkoping大学,スウェーデン
    • 年月日
      20130911-20130911
    • 招待講演
  • [学会発表] Removable singularities of solutions of semilinear heat equations2013

    • 著者名/発表者名
      Kentaro Hirata
    • 学会等名
      3rd Italian-Japanese Workshop on Geometric Properties for Parabolic and Elliptic PDE's
    • 発表場所
      東京工業大学,東京都
    • 年月日
      20130903-20130903
    • 招待講演
  • [学会発表] Schwarz-Christoffel formula for the exterior of a quadrangle2013

    • 著者名/発表者名
      Toshiyuki Sugawa
    • 学会等名
      The 2nd Chinese-Finnish Seminar
    • 発表場所
      University of Turku, フィンランド
    • 年月日
      20130814-20130814
    • 招待講演
  • [学会発表] Analyses on measure metric spaces: Cheeger construction and measurable Riemannian geometry2013

    • 著者名/発表者名
      Jun Kigami
    • 学会等名
      Recent Trends in Stochastic Analysis
    • 発表場所
      University of British Columbia, カナダ
    • 年月日
      20130724-20130724
    • 招待講演
  • [学会発表] 熱核の評価と境界ハルナック原理 --- 容量的幅による統一的方法2013

    • 著者名/発表者名
      相川弘明
    • 学会等名
      広島複素解析セミナー
    • 発表場所
      広島大学,東広島市
    • 年月日
      20130719-20130719
    • 招待講演
  • [学会発表] Existence and regularity of mean curvature flow with transport term2013

    • 著者名/発表者名
      Yoshihiro Tonegawa
    • 学会等名
      Second PRIMA Congress
    • 発表場所
      Shanghai Jiaotong University, 中国
    • 年月日
      20130627-20130627
    • 招待講演
  • [学会発表] Hyperbolic metric on a Riemann surface with conical singularitie2013

    • 著者名/発表者名
      Toshiyuki Sugawa
    • 学会等名
      21th ICFIDCAA
    • 発表場所
      Nanjing University, 中国
    • 年月日
      20130616-20130616
    • 招待講演
  • [学会発表] Intrinsic ultracontractivity and the boundary Harnack principle --- A unified approach with capacitary width2013

    • 著者名/発表者名
      相川弘明
    • 学会等名
      大阪市立大学理学 部・談話会
    • 発表場所
      大阪市立大学,大阪市
    • 年月日
      20130612-20130612
    • 招待講演
  • [学会発表] Partition, volume doubling property and quasisymmetry2013

    • 著者名/発表者名
      Jun Kigami
    • 学会等名
      Interaction Between Analysis and Geometry, Workshop III: Non-smooth geometry
    • 発表場所
      Institute of Pure and Applied Mathematics, UCLA, アメリカ
    • 年月日
      20130503-20130503
    • 招待講演
  • [学会発表] Mean curvature flow in GMT setting and its existence and regularity2013

    • 著者名/発表者名
      Yoshihiro Tonegawa
    • 学会等名
      Geometry-Analysis Seminar
    • 発表場所
      Rice University, アメリカ
    • 年月日
      20130403-20130403
    • 招待講演

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公開日: 2015-05-28  

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