| 研究課題/領域番号 |
25287017
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| 研究機関 | 城西大学 |
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研究代表者 |
大島 利雄 城西大学, 理学部, 教授 (50011721)
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| 研究分担者 |
坂井 秀隆 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (50323465)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 常微分方程式 / 超幾何系 / 数式処理 / ルート系 |
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| 研究実績の概要 |
リジッドな常微分方程式の可約条件を組み合わせ論的に容易に求めるアルゴリズムを与えた．その可約条件をルート系の観点から3種類に分類し，方程式が見かけの特異点を持たない既約成分をもつ条件を明らかにした．さらにそれらと自然に対応している多変数超幾何微分方程式について，モノドロミー群の既約性条件を与え，3種類の分類と既約性条件との関連を明らかにした．
多変数の超幾何関数についての様々な変換，特に2変数の超幾何関数に対し，さらに変数を増やして変数と特異点とを同等に扱うことによって明らかになる対称性による変換とmiddle convolutionによるRiemann schemeの変換の記述を可能にするアイデアを得た．
今後の研究に役立てることを目的として，数式処理 Risa/Asir の関連するプログラムを開発を進め，特に視覚的にも綺麗に結果を出力する関数を作成して公開した．
これらの結果は国内外の学会や研究集会で発表し，常微分方程式と多変数超幾何についての既約性の結果を論文にまとめた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
多変数の超幾何関数について，Fuchs型の常微分方程式について研究代表者が得ていた様々な観点が有効に応用できることがより明らかになった．特に既約性については決定的な結果を得た．また多変数の超幾何のRiemann schemeがmiddle convolutionでどのように変換されるかは未解決であったが，それに対して解決の糸口を得た．
多変数化によって，数学的には見やすくなったが計算が複雑になるため，微分方程式の解析のための数式処理のプログラムを充実させてより使いやすくした．
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| 今後の研究の推進方策 |
多変数の超幾何関数について，線形常微分方程式の場合と同様な一般的理論の構築を目指す．
より一般の多変数の超幾何系の解析に使えるように数式処理のプログラムを拡張し，middle convolutionなどの様々な変換について多変数も扱えるようにする．
研究代表者の独自の観点からの解析を，リジッドな常微分方程式と直接結びつかない多変数の超幾何系においても拡張し，さらに曲線への制限を通じて重要ではあるがリジッドでない常微分方程式の研究にも役立たせる．
不確定特異点を含むリーマン球面上の線型常微分方程式の大域的な一般的扱いを進展させ，シンプレクティックベクトル空間内の平面曲線との対応をつけ，それらのリーマン・スキームを通じてのスペクトル型による分類と後者のシンプレクティック双有理変換による解析によって両者の構造を明らかにしていく．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
昨年度末に海外から複数の研究者を招いて研究集会を計画していたが，最終的に都合がつかず，来日できなかった者がいた．
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| 次年度使用額の使用計画 |
今年度は，今まで行ってきた研究会の他にテーマを絞った研究集会を新たに計画し，成果をまとめて論文集の刊行を目指す予定である．
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