多変数特殊関数の理論と数値計算

2013 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 25287018
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 研究機関: 神戸大学
• 研究代表者: 高山 信毅 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30188099)
• 研究分担者: 小池 達也 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80324599)
• 研究期間 (年度): 2013-04-01 – 2016-03-31
• キーワード: 合流型 A-超幾何関数 / ホロノミック勾配法 / order polytope / Borel変換

研究概要

F.Castro-Jimenez, M.C.Fernandez-Fernandez, T.Koike, N.Takayama, Irregularity of Modified A-Hypergeometric Systems で考察した, 興味深い合流型 A-超幾何関数について, Borel変換/Lapalce変換を活用し, 接続公式, 漸近展開公式を求め, さらにその数値計算をおこなった.
C111 とよぶ点配置について, それの合流型として定義される A-超幾何関数の数値計算をホロノミック勾配法(HGM, holonomic gradient method) で遂行した. この遂行に際しては関数のみたす Pfaffian 方程式を構成する必要があったが, T. Koyama, H. Nakayama, K. Nishiyama, N. Takayama が Fisher-Bingham 分布の正規化定数の計算のために導入した, factored form の Pfaffian を構成し, 数式処理計算, 数値計算の効率化をはかった.
A-超幾何積分に付随する twisted cohomology group の基底をもとめる一般的なアルゴリズムを Hibi, Nishiyama, Takayama が与えているが, 組合わせ論的によい性質をもつ点配置(order polytope のあるサブクラス)について理論的な考察を進めることにより, 基底を組合わせ論的に決定した.
行列引数超幾何関数 1F1 の数値計算をホロノミック勾配法(HGM)でおこなう C 言語のプログラムを公開した.

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

ホロノミック勾配法(HGM)による数値計算は強力な方法であることが実証されつつある. この点において, 研究成果は十二分にあがっていると思われる. 今後、さらに広いクラスでホロノミック勾配法の有効性を確かめたい.

今後の研究の推進方策

さらに広いクラスでホロノミック勾配法の有効性を確かめるため, 古典的超幾何関数である FD, FA, FC 等についてホロノミック勾配法を適用する。問題に応じた工夫が必要であることはいうまでもない.

次年度の研究費の使用計画

夏に開催した超幾何学校2013の旅費補助が必要な人の人数が想定より少なかったため。また校正遅れのため、学校の講義録の出版が遅れた。
本年度の学校２０１４では旅費補助の枠があることの宣伝をより広く行う。また、前年度発行できなかった、学校の講義録を発行する。

研究成果

• [雑誌論文] On the Borel summability of 0-parameter solutions of nonlinear ordinary differential equations (2013)
  • 著者名/発表者名: S. Kamimoto and T. Koike
  • 雑誌名: Kokyuroku Bessatsu 巻: B40 ページ: 191, 212
  • 査読あり
• [雑誌論文] Exact WKB analysis of second-order non-homogeneous linear ordinary differential equations (2013)
  • 著者名/発表者名: T. Koike and Y.Takei
  • 雑誌名: Kokyuroku Bessatsu 巻: B40 ページ: 293,312
  • 査読あり
• [学会発表] Introduction and recent progress of the holonomic gradient method (2014)
  • 著者名/発表者名: Nobuki Takayama
  • 学会等名: CASTA 2014
  • 発表場所: 京都
  • 年月日: 20140122-20140122
  • 招待講演