| 研究概要 |
非線形楕円型方程式 (系) に対する特異摂動問題を中心に研究を実施した. 非線形シュレディンガー方程式に対する特異摂動問題に関しては, 局所的な変分法によるアプローチを研究代表者田中は J. Byeon 氏と共に開発し, ポテンシャル関数の極大点, 鞍点に凝集する解の構成に成功した. この構成法は非常に広いクラスの非線形項に対して適用可能であり, 従来の Lyapunov-Schmidt
法による極限方程式の解の一意性, 非退化性を要求する存在結果を大きく拡張するものである. なお, 本年度の研究において 1 点に与えられた数のピークが凝集する multi-peak 解の存在の構成にも成功している. このようなmulti-peak 解の存在は非退化条件なしには証明されていなかったものである.
常微分方程式の Lagrange 系に対する特異摂動問題に関しては, 高振動解の adiabatic invariant を用いたプロファイルの決定および与えられた admissible なプロファイルをもつ解の構成を P. Felmer 氏, S. Martinez 氏らと共に行い成功した.
また 2 次の相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系について研究代表者は分担者小澤および林氏と共に研究に取り組み, 初期値問題の局所および大域可解性, さらには定在波解の存在を様々な設定の下で行った. また研究分担者小薗は Lax-Milgram 定理の一般化およびその楕円型方程式系への応用を, また連携研究者足達, 佐藤は準線形楕円型方程式, 非線形シュレディンガー方程式系の解の漸近挙動の研究等を行い, 塩路は非線形楕円型方程式の球対称解の研究を行い, 既存の結果をほぼすべて含む, 球対称解の一意性定理を導いた.
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| 今後の研究の推進方策 |
特異摂動問題を中心に研究を推進する. 特に局所的な変分的手法のさらなる一般化, 抽象化を目指す. 特に摂動された柱状領域での非線形楕円型方程式および Choquard 方程式系等の非局所項をもつ方程式, 方程式系への応用を目指す.
また数理物理モデル, 数理生物モデル等に現れる非線形楕円型方程式系の解析を strongly indefinite な汎関数を用いて定式化される場合を重視して解析を行う.
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| 次年度の研究費の使用計画 |
海外の研究者の招聘を予定していたが, 研究者の家庭の事情により訪問が不可能となった.
また本年度, 研究は当初の計画よりも順調に進み, 局所的な変分的手法による特異摂動問題へのアプローチに関して理論的な発展をみた. 当初は, 数値計算による数値実験等が必要不可欠かと思われたが, 本年度はさほど必要でなくソフトウエアの購入等も行わなかった.
26 年度においては国際数学者会議 ICM が韓国において開催される. そのサテライトコンフェレンスとして Variational method in nonliear PDEs を Gyeongju (韓国) において 8 月 3 日-8 日に J. Byeon 氏, Z.-Q. Wang 氏と共に開催する. この会議には日本からの研究者 (研究連携者等を含む) が参加を計画している. その際の旅費として, また研究を進めるための数値実験を行う必要がある. そのための PC およびソフトウエアの購入に使用する計画である.
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