| 研究実績の概要 |
非線形スカラーフィールド方程式および非線形楕円型に対する特異摂動問題を中心に研究を行った.
特に deformation flow に注目し, 方程式がスケール不変性を持つ場合に適用可能な新たな勾配流の構成法の開発を行った. Pohozaev の等式が重要な役割をはたす非線形スカラーフィールド方程式に対しては, 新しく導入した (PSP) 条件の下での deformation flow が構成できることを示した. (PSP) 条件はよく用いられている Palais-Smale 条件に Pohozaev の等式の効果を取り入れたものであり, そのアイデアの一端は Hirata-Ikoma-Tanaka (2010) に見られるものであるが, L2-制限問題に対して解の多重度を示すことができる等の応用をもつ. また非常によく知られた結果である Berestycki-Lions (1983) の結果等において Pohozaev の等式のはたす役割を明確にすると共に制限問題を経由せず, 比較汎関数を必要としない別証明を与えることを可能にしている.
ここで開発された方法は昨年度まで研究を行ってきたある種のプロダクト空間での deformation flow に密接に関連するものであり, 今後, 特異摂動問題, 非局所楕円型問題に対する応用が見込まれる.
なお, 非線形楕円型方程式については研究分担者, 連携研究者も多くの結果を得ているが, ここでは連携研究者 佐藤の結果を紹介することに止める. 佐藤は $R^N$ での一般的な非線形項を持つ非線形楕円型方程式に対して無限個の解が存在するための条件等に関する結果を得, さらに非線形シュレディンガー方程式に対する特徴的な解の構成に成功している.
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