| 研究課題/領域番号 |
25330006
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
森継 修一 筑波大学, 図書館情報メディア系, 教授 (50220075)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 計算幾何 / 数式処理 / 和算 |
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| 研究概要 |
「円内接多角形問題」に取り組んだ。これは、「円に内接するn角形の各辺の長さをa1,...anとするとき、その面積Sおよび外接円の半径Rをa1,...anの式で表せ」という古典的な幾何学の問題である。三角形および四角形については7世紀までに解かれていたが、その後1300年を経て、20世紀末になってようやく五角形に関する「面積公式」「半径公式」が導かれた。ただし、西欧数学とは独立に、江戸時代の日本の数学者（和算家）は、17世紀後半に半径公式を正確に求めている。
三角形・四角形においては、「面積を与える公式」「半径を与える公式」がそれぞれ与えられると、「面積と半径の関係を与える公式（統合公式）」が容易に導かれる。これに対し、五角形については、「面積公式」と「半径公式」のそれぞれは求められているものの、「統合公式」は未だに求められていないと見られる。
本研究では、この「統合公式」の計算に取り組んだ。数式処理システムを利用して、複数のアルゴリズムの適用を試したものの、途中の式が非常に大きくなり、どの方法によっても、計算困難な難問であることが見えてきた。
その中でも、「基本対象式による表現の利用」と「終結式計算」とを組み合わせると、現実的な時間で計算が可能になり、最後に「多項式の因数分解」を行って、目的の「統合公式」とみなせる公式（「面積の2乗×半径の2乗」を変数とする7次方程式）が得られた。この公式の幾何学的な解釈は今後の課題である。また、最後のステップの「多項式の因数分解」に約80時間を要したことから、より効率的なアルゴリズムの考案も課題となっている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非常に計算に時間がかかるアルゴリズムではあるが、目的の「統合公式」の具体形を求めることには成功していて、国内の研究会では発表済みである。その計算の効率化については、いくつかアイデアがあり、現在も模索中である。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在着手している「円内接多角形問題」については、計算アルゴリズムの効率化に取り組み、国際会議等で発表する。幾何学として新たな知見が得られるよう内容を精緻化して、学術論文としての投稿を目指す。
その他の和算の問題についても、広く文献調査を行い、次に取り上げるべき問題の検討に着手する。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
成果がまとまった場合には、国際会議での発表を想定して旅費を確保していたが、計算機実験に相当の時間を要し、国外での発表には至らなかったため。
研究成果がまとまりつつあることから、26年度には国際会議で発表できる見込みが立ったので、積極的に内外の学会での発表を行うものとする。
25年度には、当初の研究計画のとおり、計算サーバーのメモリーの増強を行い、一定の成果を上げている。今後は、さらなる大規模計算に耐えうるよう、計算サーバー用コンピュータの更新を検討する。
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