| 研究課題/領域番号 |
25330015
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| 研究機関 | 徳島大学 |
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研究代表者 |
蓮沼 徹 徳島大学, 大学院ソシオ・アーツ・アンド・サイエンス研究部, 准教授 (30313406)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 完全独立全域木 / 最小次数条件 / 最適グラフ |
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| 研究実績の概要 |
完全独立全域木は前年度に反復細分線グラフにおいて考察した構造的性質の一つであるが，細分線グラフの一般化である単射的グラフ展開の基グラフにおけるその存在性が耐故障性の観点から重要であることから，より一般のグラフを対象に考察を進めた結果，以下の結果を証明することができた．
１．頂点数が7以上の任意のグラフGに対して，Gの頂点の最小次数がn-k以上ならばGは[n/k]本の完全独立全域木をもつ，ここで，[n/k]はn/k以下の最大の整数を表す．
２．頂点数が8以上の任意のグラフGに対して，2つの完全グラフから1つの頂点を同一視して得られるグラフを除き，Gの頂点の最小次数が(n-1)/2以上ならばGは2本の完全独立全域木をもつ．
これまでに，Gの頂点の最小次数がn/2以上ならばGは2本の完全独立全域木をもつこと，Gの頂点の最小次数がn-2以上ならばGは[n/3]本の完全独立全域木をもつことが知られていたが，１の結果は前者を一般化し後者を改善したものになっている．また，これらの結果の他に，完全独立全域木の数に関して最適なグラフについても考察し以下の結果を得た．
３．2つの任意のパラメータn,k（n>=k>=2）に対して，頂点数nで，2[n/k]-正則あるいは2[n/k]+1-正則なグラフで[n/k]本の完全独立全域木をもつグラフH(n,k)が存在する．
特に，H(n,k)は対称性をもつグラフであり，単射的グラフ展開の基グラフだけでなく，それ自体相互結合網として適用可能であると考えられる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
今年度は，因子分解，情報散布等について考察をする予定であったが，因子分解についての考察中に，前年度考察した構造的性質である完全独立全域木に関して，細分線グラフの一般化である単射的グラフ展開の基グラフにおける完全独立全域木の存在性が耐故障性の観点から重要であることに気付き，かつ基グラフにおける完全独立全域木の存在のための十分条件についての(既知の結果を一般化した）命題を予想することができたため，考察を始めた結果この予想を証明でき，また既知の結果を改善しさらに完全独立全域木の数に関して最適なグラフの構成法も得ることが出来た．しかしながら，想定以上に証明・構成法の探求等に時間がかかってしまい，当初予定していた因子分解等の考察を十分に行うことができなかった．
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| 今後の研究の推進方策 |
一般化シェルピンスキーグラフと拡張シェルピンスキーグラフの２つのクラスを共に含むグラフクラス（universalized Sierpinski graphs）を定義することに成功しており，反復細分線グラフのクラスだけでなく，このクラスについても因子分解を含む構造的性質や情報散布等の考察を進める予定である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
証明等に想定以上に時間がかかってしまい当初予定していた国際会議での発表に費用を充てることができなかったため，次年度使用額が生じた．
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| 次年度使用額の使用計画 |
既に因子分解等の考察を再開し新たな結果も得ており，これらの結果を国際会議で発表するための費用として使用する予定である．
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