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大規模線形方程式の求解では，CGSなどクリロフ部分空間法に基づく反復解法の前処理付きアルゴリズムが用いられることが多い．我々の先行研究では，国際的標準として使用されている従来版の前処理付きCGS法（PCGS: Preconditioned CGS）の記述と前処理変換には数理的に非合理的な点があることを指摘し，その改善版を提案した．
最終年度の研究では，PCGSに対する数理面の分析として前処理付きBiCG（PBiCG）について議論した．さらに，PBiCGやPCGSの前処理系の方向は，反復前の初期シャドウ残差ベクトルの構成と設定により切り替わることを示した．これは，PBiCG自体の改善に相当する事柄であり，改善版アルゴリズムの簡易実装を実現するための仕組みとなることが分かった．この仕組み，および，クリロフ部分空間と算出される解ベクトルの構造の関係が，PCGSの改善版アルゴリズムの良好な求解状況に関係していることが分かった．これらの観点から，我々が開発したImproved1 PCGSとそれから派生するImproved2 PCGS（Improved1 PCGSと等価な改善版アルゴリズム），および，従来から用いられてきているPCGS（従来版）と左前処理系と呼ぶべきLeft-PCGSとを比較分析し，我々の改善版アルゴリズムは従来版のメリットと左前処理系のメリットを有し，両者におけるデメリットを解決したアルゴリズムであることも分かった．
以上の研究成果の今後の応用として，双ランチョス系と呼ばれるBiCG法から派生する様々な前処理付きアルゴリズムへの適用により，改善版PCGSと同様の効果を見込んでいる．現時点では，局所的残差最小化演算を伴うPBiCGの安定求解に向けた研究へと発展しており，先行研究の改善版アルゴリズムよりも更なる求解性能向上を期待できる．これについては今後の研究課題として取り組む．
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