| 研究実績の概要 |
今年度に得られた新たな研究結果としては次のものがある。
(1) セルバーグ・クラスと呼ばれるディリクレ級数たちのある集合に関して，primitiveとは限らない一般の元たちに対して，同時普遍性と呼ばれる性質がどのようなときに成り立つのかなど，セルバーグ・クラスの構造に関する考察を行った。その副産物として，ある予想について反例があることが分かった。
(2) 前年度に，SL(2,Z)の正則なcusp formに付随するL関数に対する零点の結果および一般のL関数に対する代数的微分独立性の結果を得たが，それらの証明においては，セルバーグ直交性と呼ばれるものが使われた。このように，セルバーグ直交性は重要なものと考えられる。今年度は，セルバーグ直交性そのものに関してこれまでに知られていた結果を改良する試みを行い，ある程度の成果を得た。この成果は，GL(m)/QのL関数たちの同時普遍性について新たな結果をもたらす。
(3) セルバーグ直交性の1つの応用として，SL(2,Z)の正則なcusp form（Hecke eigen cusp formとは限らない）のフーリエ係数たちに対する符号変化についての新たな成果を得た。
また，今年度は，これまでに得た成果を論文としてまとめることに相当に長い期間が費やされた。
研究期間全体における申請時当初の計画は，大雑把に言えば，L関数たちに対して，関数論における値分布論的な観点およびディオファントス近似論的な観点から近似論を推し進め，例えば一般リーマン予想に関する応用を得ることであった。申請書作成後に出版された様々な新論文たちも考慮しながら研究を進めたため，当初の研究計画とは違った部分も出てきたが，結果としては，L関数たちに対して，同時普遍性，零点たちの存在および分布，独立性に関する成果を得ることができ，総合的には十分な成果を得ることができたと思われる。
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