| 研究実績の概要 |
最終年度の成果：有限群 G に対して, G の位数を割り切る素数からなるある集合を π とする。Nπ(G) を G の非自明なベキ零 π-部分群全体とし, Lπ(G) を Nπ(G) に属する部分群 U で OπZN(U) が再び U に含まれるもの全体であるとする。先行研究として, 我々は既に Nπ(G) と Lπ(G) が互いにホモトピー同値であることを示している。Nπ(G) や Lπ(G) を導入した動機の一つとして p-部分群複体と q-部分群複体の貼り合せがある。そこで, この一般化として, 互いに交わりのない素数の集合 π1 と π2 を取り, Nπ1(G) と Nπ2(G) の貼り合せに関する研究を遂行した。具体的には, 上記二つの複体が実際に交わり合う Nπ1∪π2(G) に着目し, これら三つの複体の相互関係が現れるホモトピー同値性を証明した。さらにこの性質は Lπ(G) に遺伝することを明らかにした。この結果は, 可換 π-部分群複体や基本可換 π-部分群複体などに対しても成立する。この応用として, Mayer-Vietoris 系列を用いたホモロジー群 Hn(Nπ(G)) の計算を行った。この計算は Nπ1∪π2(G) の計算に帰着される。一方, 具体的な情報収集の一環として, 一般線形群 GL(n,p^e) に対する Lπ を分類した。この分類は GL の既約部分群の Lπ に関する分類に帰着される。以上の研究成果は現在 数学専門誌に投稿中である。
期間全体を通じた成果：部分群複体をクイバーと見なし, 付随するパス代数の表現を用いて複体を考察するこれまでにない新しい手法を見出した。さらにこの手法を用いた群の特徴付けなどにも成功した。また今度の更なる発展に向けて、ベキ零部分群に関する研究の足掛かりを得ることが出来た。
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