| 研究課題/領域番号 |
25400008
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
志甫 淳 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (30292204)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 過収束アイソクリスタル / p進微分方程式 / ドラーム基本群 |
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| 研究概要 |
過収束アイソクリスタルについて，以下の(1),(2)の研究を行った．
(1) Xを標数p>0の体上の開いた連結平滑代数多様体で，縁が連結平滑因子であるとし，EをX上の過収束アイソクリスタルとするとき，Eの縁への延長可能性の困難さを表す量として微分Artin導手の概念が定義される．この微分Artin導手の曲線切断による変化に関する研究を進め，縁と横断的に交わるほとんどの曲線切断により微分Artin導手は不変であるということを示した．これは昨年度までに示したことを強めた結果であるが，論文を書き上げるまでには至らなかった．
(2) 適当なp進非リュービル性を満たすp進数からなる集合Σを固定する．(局所モノドロミーの固有値のlog/2πiに対応する．) このとき混標数(0,p)の完備離散付値環上の適当な開半安定還元スキームXの特殊ファイバー上の対数的過収束アイソクリスタルでΣ冪単なもののなす圏からXの一般ファイバー上の可積分接続付加群でΣ冪単なもののなす圏への忠実充満関手(開スキームに対する代数化関手)が対数的延長関手，対数的代数化関手，制限関手の合成により定まる．Σが整数を法として群を成すときにこの関手がテンソル積と整合的であり，対応する淡中双対の全射を定めることを示した．(V. Di Proietto氏との共同研究) この結果を論文に纏め，投稿した．
また，標数0の対数的代数多様体上の対数的可積分接続付加群について以下の(3)の研究を行った．
(3) 標数0の標準的対数点上の準射影的な単純正規交叉対数的代数多様体とするときに，適切な対数的可積分接続付加群のなす圏の淡中双対として定まるドラーム基本群の完全列を構成し，副可解商に対しては完全列の最初の射の単射性を示した．(V. Di Proietto氏との共同研究) 論文は現在準備中である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
微分Artin導手の曲線切断の研究については問題なく進み，また，開スキームに対する代数化関手の研究，ドラーム基本群のホモトピー完全列については期待を超えて大変順調に進んでいる．しかしながら，上記の研究のいくつかおよび以前の研究に関する論文の執筆，改訂については当初の予定より遅れているので，全体としてはおおむね順調に進展していると判断する．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度の研究に引き続き，過収束アイソクリスタルやそのコホモロジーの研究を進めていく．また，今年度行ったドラーム基本群の研究を基にして，p進基本群についても研究を進めていく．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
今年度は数学の実質的な進展に集中した結果，必要な図書類の整備，コンピューター関連機器の整備を次年度以降に回すことにした．
プリンター等のコンピュータ関連機器を購入し，また，数論幾何学，代数幾何学関連の図書を購入する．また，国内，海外の研究集会への参加および研究討論を行う．学務等の都合で参加できない研究集会については，大学院生に参加してもらい，研究情報の収集に努める．
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