| 研究実績の概要 |
昨年度に引き続きADE型単純リー環gと互いに素な正の整数(p, q)で共にgのコクスター束に等しいが大きいものの組についてレベル(p, q)のg型拡大W代数M(g)を定義し、その表現の圏の構造解析を行った。これは昨年度までのg=sl2の場合の拡張で、研究の方針も同様であり、g型の格子頂点作用素代数の自由場表示における２つのScreening作用素を用いて構成するVirasoro代数のまつわり作用素を使う方法である。まつわり作用素は重複したScreening作用素の積に対して定義されるセルバーグ型の超幾何積分を用いて定義される。この超幾何積分をきちんと定義するため、まず必要なねじれたde Rham cohomology理論の係数をC上の巾級数環C[[ε]]上に持ち上げ、理論をさらにローラン級数体C((ε))まで持ち上げ、対( C[[ε]], C((ε)) )に関してねじれたde Rham理論を構成し、ε=0における消滅サイクルとしてSelberg型積分を定義する。このため、格子頂点作用の表現の圏を組( C[[ε]], C((ε)) )上のexact categoryの圏で扱う。
このように超幾何積分に関する理論を厳密化することにより、g型レベル(p, q)の拡大W代数M(g)の厳密な定義と、その有限個の既約表現が得られる。結論として、拡大W代数M(g)はC2有限であり、上に構成した表現がすべて既約表現となっていることを厳密に証明されることが期待される。この方法で拡大W代数M(g)にはg型レベル零アファイン・リー環が微分として作用しており、さらにこれがすべての既約表現に持ち上げられると期待している。
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