| 研究課題/領域番号 |
25400011
|
|---|
| 研究機関 | 信州大学 |
|---|
研究代表者 |
花木 章秀 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (50262647)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
|
| キーワード | アソシエーション・スキーム / 代数的組合せ論 / 加群 / 表現 / coherent configuration |
|---|
| 研究実績の概要 |
アソシエーション・スキームの研究の多くは組合せ論的な議論によってなされており、表現論的な手法が本研究の特徴である。これまでの表現論的な研究ではその隣接代数と呼ばれる代数の表現を扱っていたが、それだけでは組合せ論的な情報が多く失われてしまい、強い結果は望めない。そこで単なる代数の表現を見るのではなく標準表現と呼ばれる特別な表現をもつ代数として隣接代数を扱う。複素数体上の表現では標準表現を考えても新たに得られることはないため正標数の体上での表現を考える。表現の圏も標準表現込みのものとして扱うべきであると考えるが、これは今後の課題として、まずは有用な例を考えている。またアソシエーション・スキームの一般化である coherent configuration に対しても同様のことが考えられる。
いくつかの論文で隣接代数に含まれる行列の p ランク (標数 p の体上でのランク) が扱われているが、これは標準表現の様子から得られるものである。歪対称デザインから得られる coherent configuration に対して、標数 2 の体上での標準表現を考え、標準表現を考えない今までの方法では違いが現れない二つのものに対して、その構造の違いが 2 ランクの違いとなって現れること、またランクが等しくても標準表現の様子に違いが現れることがあることを示した。
サイクロトミック・スキームに対して、その正標数の体上の隣接代数の構造を決定するための有効な手段を与え、小さな場合や、ある特殊な場合にはその構造を完全に記述した。またそれを用いて小さなサイクロトミック・スキームに対して標準加群の直既約分解と行列の p ランクを決定した。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
正標数の体上の隣接代数の構造はこれまでにほとんど決定されておらず、知られている例が少ないため一般論の構築が難しい。サイクロトミック・スキームは基本的な例ではあるが、その構造をきちんと記述することは容易ではない。またそこから得られる代数は常に局所可換対称という強い性質をもつが、多くの複雑な構造のものが得られることが分かった。またサイクロトミック・スキームに対しては標準表現の直既約分解を考えることも可能であり、これまでにない結果が得られてきている。
本研究では具体例を調べ、それを解析することによって一般論を構築することが目標であるため、概ね順調に進展していると考えられる。
|
| 今後の研究の推進方策 |
一般論を構築するためには、まだ例が足りないように思われるため、いくつかのアソシエーション・スキーム(の系列)に対して、その隣接代数の構造の決定、標準加群の直既約分解、p ランクの決定、を考える。その後、それらを含むような一般論の構築を試みる。
これらの結果を踏まえて、アソシエーション・スキームの表現の圏を新しい視点から定義し、その性質を調べる。現在考えているものでは圏として扱いにくいものになっており、定義自体の改良が必要であると感じている。
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
2015年度8月に九州で研究協力者の平坂貢(韓国釜山大学)、島袋修(長崎大)と共に研究集会を主催する。海外から P.-H. Zieschang (University of Texas, USA), I. Ponomarenko (St. Petersburg Mathematical Institute, Russia), M. Muzychuk (Netanya Academic College, Israel) など６名の参加が予定されている。参加者の国内滞在費等を支出するために2014年度の予算を残した。この集会は専門分野の近い研究者のみを招集し共同研究のための打ち合わせに主体をおいたものであり、本研究の趣旨に沿ったものである。
|
| 次年度使用額の使用計画 |
理由にあるに8月の集会で、研究代表者の参加費も込めて 600,000 円程度を使用する。他に 6 月に「代数的組合せ論シンポジウム」(金沢)、9 月に「代数学シンポジウム」(静岡、発表予定)、他、詳細は未定であるが「環論および表現論シンポジウム」、「RIMS 研究集会」などに参加する。その他、代数学および計算機関係の書籍の購入、計算機関係の消耗品の購入などを予定している。
|
