| 研究課題/領域番号 |
25400015
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
今野 拓也 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (00274431)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 保型形式 / テータリフト / L関数 / 周期 / 保型内視論 |
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| 研究概要 |
2013年度は，多変数保型形式の古典的な構成方法として知られる清水リフト，吉田リフトなどのテータリフトを，Arthurの保型内視論を用いた保型表現の分類により，記述することを計画していた．内視論による保型表現の分類は，保型表現全体がなす集合や各保型表現の重複度が，非常に簡明な構造を持つことを示している．その一方で保型形式のFourier係数や，保型L関数の値など，整数論的な応用に関係する量との関係が見て取れない．こうした保型表現の整数論的な不変量が比較的よく調べられている，古典的なテータリフトの例を内視論的分類で書くことにより，それらの間の関係が観測できると期待される．
テータリフトの古典的な例はGL(2)や関連する群の保型表現の深い理解の上に立脚している．特にその記述にはGL(2) と GSO(4) の間の清水リフトや GU(2) と GU(1,1) の間のテータ対応が，本質的な役割を果たしている．2013年度の前半は，これらのテータリフトの等距群，つまり SL(2) × O(4) の場合などへの精密化を研究した．その結果，副二次型と呼ばれる表現が局所成分に現れない場合には，O(4)の保型表現が記述できて，その場合のテータ対応を部分的に決定できた．
その後はこれらの研究の下地となる p 進簡約群の表現論についての勉強会を行い，その仕上げとして平賀郁(京都大)，原下秀士(横浜国大)両氏と第21回整数論サマースクール「p進簡約群の表現論入門」を行った．また，保型表現論などに用いられる線型代数群の理論について資料を収集，整理し，概説原稿を準備している．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
研究計画に比べてその実施が遅れている原因としては，引き受けた部局の業務の負担が，研究計画作成の時期までに説明を受けて予想していた量を大きく上回ったことが挙げられる．特に拘束時間や業務の頻度が多かったので，研究時間が不足したことはもちろん，当初予定していた研究連絡や，情報交換の大部分の実施を断念せざるを得なかった．
また整数論サマースクールの講師として博士課程学生を採用した．彼の講演内容はプログラムの中でも最終部分に属する現代的かつ難解な内容であったため，その教育指導に前期の多くの時間とエネルギーを割かなくてはならなかった．もっともこの機を捉えてユニタリ群の局所内視論について詳しく計算することができたのは，翌年度以降の研究にとって無駄にはならないかもしれない．
他に書籍の執筆などの仕事にも時間を取られたことがあげられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
2014年度は前年度の結果を受けて，副二次型表現(Lパケット)を含む場合のランク1の古典群の間のテータ対応の記述を完成する．副二次型Lパケットの構造は局所理論からは決定できなかったため，Selberg跡公式を用いた適切な大域的手法を用いることを計画している．そのために年度の初期にドイツで行われる保型形式分野の国際シンポジウムに参加する他，年度半ばにParis7大学を訪問し，研究交流と情報交換を行う．
また2014から15年度にかけて，ランク1の場合のテータリフトを用いて，古典的なテータリフトの例を精密化して再構築したい．これに関しては，局所テータ対応とGSp(2)の局所Langlands対応との関係を与えたW.-T. Gan氏ら,シンガポール国立大の研究グループとの研究連絡を予定している．これらはいずれも古典代数群上の保型表現を扱うものであるが，そのテータリフトにはメタプレクティク被覆群上の保型表現が寄与してくる．そこで新たにメタプレクティク被覆群の保型表現に対してもテータリフトと内視論的分類の関係を考察する．これに関しては昨今，W.W. Liにより，メタプレクティク被覆群の内視論が大きく進展しており，その低次の場合での帰結を整理，活用していきたい．
馴分岐表現のFourier係数(退化Whittaker模型)の研究については，古典群の場合に明示的な計算を進める．その一方で，それらに付随する局所内視論の問題について，アフィ ンHecke環の表現論にも詳しい平賀郁，加藤信一(共に京大)を訪ねて研究連絡を行う．
周期と内視論の関係についてはの，近年の急速な進展に関する書籍や資料を年度を通して購入し，情報収集に用いる．また毎年度の後半に白馬で行われる周期に関する国際研究集会や，関連分野の研究集会に参加して，得られた結 果を発表し，また研究連絡を行う.
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| 次年度の研究費の使用計画 |
次年度使用額が生じた理由は，2013年度は部局内で引き受けた業務で想定外に多忙であったため，研究計画作成時点で予定していた研究連絡や，情報交換のための国内外での出張の多くを断念したためである．
前年度に実施できなかった研究連絡および情報交換は2014年度に繰り越して実施し，2013年度の次年度使用額はこれらの費用に充てる．
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