| 研究実績の概要 |
保型形式の周期やフーリエ係数の代数性は，岩澤理論のようなL関数値についての研究に広く応用されている．この代数性を得る際の主だった方法は，テータ対応 (Howe対応) と相対跡公式である．当研究ではこの内，テータ対応を低次の群に対して明示的に記述し，それを用いて周期やフーリエ係数の研究を行うことを目指す．
初年度からSL(2)xSO(4)のテータ対応の，内視論による保型表現の分類による記述を行い，SO(4)の表現が副二次型Lパケットに属するときのみが未解決だった．2015年度はSO(4)をO(4)に変え，ArthurによるO(4)の保型表現の分類を利用した．その結果O(4)，SO(4)ともに，副二次型Lパケットは二種の内視論的指標等式を満たす可能性があり，その二種は互いの双対と言える対等な関係であることがわかった．
この問題は低次ユニタリ群の間のテータ対応を内視論的分類で記述する際の必要性から生まれたが，局所理論に関しては，Waldspurger, Beuzart-Plessisにより，局所周期についてのGan-Gross-Prasad予想が解決され，内視論的分類と局所GGP予想の関係が確立された．近年では局所GGP予想を媒にした内視論的分類による局所テータ対応の研究が飛躍的に進歩している．一方，分裂群の保型表現の周期についてはSakellaridis-Venkateshによる広汎な予想がある．
このため当研究では古典群の内部形式の保型表現の周期に焦点を移した．そのような線型代数群のアデール群を記述するため，Borelによる簡約線型代数群の理論をHopf代数の言葉で記述した．また局所体上の連結簡約線型代数群のBruhat-Titsビルを考察し，その付値としての特徴付けを用いて，局所簡約群の超格別極大コンパクト部分群が，大域的な極小放物型部分群に対して良い位置に取れることを示せた．
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