| 研究実績の概要 |
有限次代数体上のZ_p-拡大K/kがある種の条件を満たす場合に，K上の最大不分岐p-拡大L/Kがアーベル拡大であるための必要十分条件を与えることに成功した，詳しい主張は次の通りである：
定理 条件(i) K/kで分岐する素点はただ一つでそれが完全分岐している，(ii) Kの最大不分岐アーベルp-拡大のガロワ群がZ_p-ねじれ群を持たない，(iii) kのイデアル類群のp-階数がGal(L/K)のアーベル化のp-階数と一致する，が成立していると仮定する．このときL/Kがアーベル拡大であるための必要十分条件はk上の最大不分岐p-拡大l/kがアーベル拡大であることである．
Kのような無限次代数体上の最大不分岐p-拡大L/Kがアーベル拡大であることを決定することは極めて困難であり、それを行う有限回で停止するようなアルゴリズムは知られていない．しかし，l/kがアーベル拡大かどうかは原理的には決定可能である。この定理によって，(i),(ii),(iii)を満たすような特別なZ_p-拡大K/kについては，L/Kがアーベル拡大かどうかを決定するアルゴリズムが存在することが判った．定理の条件(i),(ii),(iii)を満たすZ_p-拡大の典型的な実例は，pが8000000以下の素数である場合のp-円分体上の円分的Z_p-拡大であり，この場合のL/Kのアーベル性の判定条件は既にSharifiによって与えられている．彼の手法の本質的ステップの一つは問題をl/kのアーベル性の決定問題に帰着させる部分である．Sharifiの方法は円分体の理論に依存しているが，本研究によってこのステップがかなり一般のZ_p-拡大についても実行可能であることが明らかになった。
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