| 研究課題/領域番号 |
25400031
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 近畿大学 |
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研究代表者 |
長岡 昇勇 近畿大学, 理工学部, 教授 (20164402)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | モジュラー形式 |
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| 研究概要 |
研究課題にあげた「多変数モジュラー形式の合同関係」について、テータ作用素の素数ｐを法として核に含まれるモジュラー形式について進展があった。報告者が前回の科研費研究において発見した、いわゆる井草の奇数ウエイト・カスプ形式がテータ作用素を施すと素数２３を法として消えるという現象がどのような仕組みでおこっているか、その原因をつきとめることができた。その結果は、非カスプ形式とカスプ形式の場合に分けて考えることができる。非カスプ形式の場合の結果は、次の様に述べることができる。まず以下でpを４を法として３となる素数とする。偶数次nのジーゲルモジュラー形式で重さが、n/2+(p-1)t/2であるジーゲルモジュラー形式で、テータ作用素を施すとpを法として消えるものが存在する。ここでtは1より大なる奇数である。カスプ形式の場合は、上記でウエイトがn/2+1+(p-1)t/2のジーゲルカスプ形式で上記の性質をもつものが存在するというものである。ここでtは5より大なる奇数である。ここでもし、「5より大」という部分を「3より大」と改善できれば、前回発見した井草のカスプ形式に関する現象が完全に解明されたことになる。この点は今後の研究課題であるが、２５年度の研究のなかで所与の性質をもつモジュラー形式の大きな族が構成できたことは大きな成果といえる。この研究はドイツ、マンハイム大学のBoecherer教授との共同研究で、この期間中マンハイム大学を訪れ、この研究について情報交換、議論を行ったことは非常に有意義で、研究成果につながった。引き続き共同研究をすすめていく予定であり、今回の研究結果も論文にまとめる予定である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要でも述べたように、この研究課題の中心に据えたテーマであるテータ作用素のmod p核の研究について現象の原因解明の端緒を見つけることができた。完全な解明には至らなかったが、その性質をもつ大きな族を構成することができ、この点では研究課題の目的の副産物といえるものが得られたと思う。残された研究課題は次年度の研究目標である。
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| 今後の研究の推進方策 |
上記「現在までの達成度」で述べたように、残された課題は明確になったといえる。それは、研究目標としたモジュラー形式の存在証明であるが、次数が２の井草のカスプ形式がもつ素数２３を法としてテータ作用素が消えるという現象の解明（どのような理由でそのような現象がおきるか）について、ウエイトを高くとれば成立することが証明された。今後の課題はそのウエイトを下げることであり、この分野の世界的権威であるドイツ、マンハイム大学のBoecherer教授とこの点の克服を目指して共同研究を続ける計画である。
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