| 研究課題/領域番号 |
25400031
|
|---|
| 研究機関 | 近畿大学 |
|---|
研究代表者 |
長岡 昇勇 近畿大学, 理工学部, 教授 (20164402)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
|
| キーワード | モジュラー形式 / p進理論 |
|---|
| 研究実績の概要 |
研究課題の中心であった、「Siegel modular形式の合同」について、いくつかの進展があった．第一の成果としては，懸案であったベクトル値の場合まで含めたSiegel modular形式の合同理論，並びにp進Siegel modular形式の理論を完成したことが挙げられる．この成果はSpringer社から刊行されたResearch in Number Theory "Automorphic Forms" の一編 "On p-adic properties of Siegel modular forms" にまとめられた．
また第二の成果としては、前年度の研究成果であった テータ作用素の mod p核の理論について，一般の偶数次Siegel modular形式の場合に，その核に含まれる例を構成できることが示されたことが挙げられる．これはこれまで2次のSiegel modular形式の場合に得られていた結果を，一般偶数次の場合に存在を示したもので、アメリカ数学会のProceedingに掲載決定が確定している．テータ作用素に関する結果は，最近意外な方向に発展があることがわかってきた．それは，ユニモジュラー格子から構成される Siegel modular形式の中に，このテータ作用素のmod p核に含まれるものの存在が確認されたことであり，これについては現在論文を作成中である．
最後に，報告者の研究分野であるSiegel modular形式について，Springer社から出版され，この分野の教科書として定評のあったE.Freitag著"Siegelschen Modulfunktionen"を翻訳し，出版したことが挙げられる．この分野は，代数学，幾何学（特に代数幾何学）と関連してこれまで研究されてきたが，原論文にドイツ語のものが多く近づきがたいものがあったが，この教科書の翻訳により，近隣分野の研究者にも接しやすいものになったと思われる．
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
テータ作用素のmod p核の理論は，研究開始当初，２次Siegel modular形式特有の現象と思われたが，一般の偶数次のSiegel modular形式に同様の現象が確認され研究の進展があった．また２次の場合にも，Leech格子のテータ級数が，テータ作用素のmod 23核に入っているという現象を発見した．この結果は格子理論の専門家の興味を惹き，格子の自己同型群の構造からの現象解明の論文が書かれている．これは24次元の一般的なNiemeier格子の場合の研究である．例えば，ドイツ，Saarbrucken大のSchulze-Pillot教授は，「格子理論」の立場から我々の結果を解釈した論文を発表している．このように，我々の結果が他の分野の研究者の興味を惹き，この分野の新たな発展を促すと思われる．
|
| 今後の研究の推進方策 |
テータ作用素のmod p核に現れるSiegel modular形式について研究を進めていく．前期の研究において，２次で奇数ウエイトの，いわゆる井草のカスプ形式が，この一見して奇妙な性質をもつことを発見し，論文として公表したが，その後，同様の性質を満たすmodular形式が発見されている．このなかに，いわゆるNiemeier格子とよばれている格子に付随するテータ級数があり，格子理論の専門家からも興味をひいている．この現象の意味，すなわちなぜこのようなmodular形式が現れるかについて研究を進めていきたい．このためには，モジュラー形式のフーリエ係数に関する多くのデータが必要であり，これを得るため大型の数値計算（例えば，このためのパッケージ「Sage」等を使用した数値計算）を行い，研究を進めて行く予定である．
|
